---

1. Вспомогательные положения. Квадрируемая область. Формула Грина.


1)  Определение. Область g плоскости (x,y) называется квадрируемой еслиsup множества площадей всех вписанных многоугольников P_* равна inf множества площадей всех описанных многоугольников P^*. Число P=P^*=P_* называют площадью плоской области g (по Жордану). Достаточное условие квадрируемости- кусочная гладкость (спрямляемость) границы - .
2) Для функции f(x,y) C(g) и |f(x,y)| A- кусочно непрерывной и ограниченной в квадрируемой области g $ f(x,y)dxdy, понимаемый как предел последовательности соответствующих интегральных сумм.
3) Определение .Область g на плоскости называется односвязной, если для " замкнутого контура  g, ограниченная им часть плоскости целиком  g.
4) Формула Грина. Пусть P(x,y), Q(x,y)  C(), причем - кусочно- гладкий контур и P_x, P_y, Q_x, Q_y C(g), тогда Pdx+Qdy=(Q_x - P_y) dxdy.


2. Теорема Коши. Случай многосвязной области.

Теорема Коши. Если f(z) C (g), в односвязной области g, то для "замкнутого контура g g f(z)dz =0.
Доказательство. f(z)dz= udx-vdy+i vdx+udy= (по формуле Грина)
= (-v_x-u_y)dxdy+i(u_x-v_y)dxdy= (из условия Коши-Римана : u_x=v_y; u_y=-v_x
= (u_y-u_y)dxdy+i(v_y-v_y)dxdy=0. n
Замечания.
1) Требование односвязности области является существенным. Например, пусть область g представляет собой круговое кольцо 1<|z|<3. Функций f(z)=1/z C (g).
Однако,.

f(z)

) ), если f(z)

(g) и f(z) 

).  Т.е. f(z)

II-я Теорема Коши. Если f(z) C(),  g-односвязная, то f(z)dz =0.
Теорема переносится и на случай многосвязной области.
Теорема Пусть f(z) C (g), g-многосвязная, ограниченная извне контуром C₀, а изнутри- контурами C₁, C₂,...,C_n и пусть f(z) C(). Тогда f(z)dz =0,  где С-полная граница g, С= C₀C₁C₂... C_n, проходящая в положительном направлении.
 

Доказательство. Проведем гладкие кривые g 1,g2,...,gn, соединяющие контур C0 с контурами C1, C2,...,Cn и не пересекающиеся между собой . Тогда область, ограниченная кривыми C0,C1,C2,...,Cn и кривыми g1,g2,...,gn, проходимыми дважды в противоположных направлениях оказывается односвязной. По II теореме Коши интеграл по границе этой области равен 0. Но интегралы по

вспомогательным кривым g₁,g₂,...,g_n проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают. Поэтому
. n


3. Неопределенный интеграл функции комплексной переменной. Свойства неопределенного интеграла функции комплексной переменной. Формула Коши-Адамара.

Следствия теоремы Коши.
1) Если g- односвязная и f(z) C (g), то для " z₁,z₂g не зависит от пути
интегрирования. При фиксированном z₀ интеграл=F(z)- функция только z!
2) Неопределенный интеграл. Пусть g-односвязная область, f(z) C(g),  для " замкнутого контура g g  интеграл f(z)dz =0. Функция =F(z)- называется неопределенным интегралом от  f(z).
Каковы свойства F(z) ?
Теорема 6.1. Если g-односвязная и f(z) C(g) и для " замкнутого контура g g  интеграл  f(z)dz =0, то F(z) $ и F(z) C (g).
Доказательство. 
<e при п D zп <d =>$=F'(z)=f(z) C(g)
=>F(z) C (g) n

Свойства неопределенного интеграла.
1) Понятие первообразной. Пусть f(z) C(g). Тогда первообразной F(z) функции f(z) в g называется " F(z) C (g) такая, что F '(z)=f(z).
Замечания.
1) Неопределенный интеграл F(z) в односвязной области g- первообразная f(z).
2) Если $ первообразная F(z), то их $ бесконечно много, но все они различаются на аддитивную постоянную F'₁(z)- F'₂(z)=0 => F₁(z)=F₂(z)+C.
3) Формула Ньютона-Лейбница. Если g-односвязная и и f(z) C(g) и для " замкнутого контура g g  интеграл  f(z)dz =0, то=F(z₂)-F(z₁); где F- " первообразная.
4) Формула конечных приращений, вообще гооворя не верна.
f(b)-f(a)=(b-a)f'(x^*); x^*(a,b).
5) Формула Коши-Адамара. Пусть g- односвязная и f(z) C (g) и для " замкнутого контура g g  интеграл  f'(x )dx =0; f(z)- первообразная f '(z) =>
=f(z+D z)-f(z). В качестве пути интегрирования возьмем прямолинейный отрезок, соединяющий z и z+D z: x =z+D zq ; 0q 1; dx =D zdq . Получим:
f(z+D z)-f(z)=D z- формула Коши-Адамара.
6) При вычислении интеграла от аналитической функции контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он не выходил из области аналитичности подынтегральной функции. Деформируя контур интегрирования так, как это допускается теоремой Коши, можно легко вычислить многие интегралы.
 

Важный пример. Вычислить интегралdz/z , по контуру, изображенному на рисунке справа. Обратим внимание на то, что контур вообще не задан какой-либо формулой. Важны его начальная и конечная точки и то, сколько раз он обходит вокруг начала координат.

Нам нужно разумно деформировать наш контур, чтобы интеграл подсчитывался легко.
Для этого заметим, что интеграл dz/z легко вычисляется по контурам двух типов:

во- первых вдоль действительной оси: dz=dx, =lnx (x>0); во-вторых, что менее очевидно, по дуге окружности с центром в особой точке z=0 и радиусом r . На этой окружности z=r eiq, dz=ir eiqdq , так что т dz/z=iт dq . Поэтому разумно деформировать наш контур в изображенный на рисунке справа, где окружность с центром в нуле и радиуса r пробегается дважды и еще по ней проходит дуга в j радиан. Ответ: наш интеграл равен lnr +4p i+ij

Назад

Вверх

Вперед