1. Комплексные числа и последовательности комплексных чисел.
п.1. Понятие комплексного числа. Геометрическая интерпретация.
Определение. Комплексным числом называется пара действительных чисел с установленным порядком следования чисел z=(a,b), a=Re z, b=Im z. Действительные числа включаются в множество комплексных чисел. a=(a,0)-вещественное число, (0,b)-чисто мнимое число. (0,1)=i- мнимая единица. Еще примеры комплексных чисел: 0=(0,0), -1=(-1,0), -i=(0,-1).
Комплексные числа можно изображать точками на комплексной плоскости.

I. Действия с комплексными числами.
1) Равенство. Два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части: z₁=(a₁,b₁), z₂=(a₂,b₂). Если z₁=z₂ Ы a₁=a₂, b₁=b₂.Операция сравнения не определена. Множество комплексных чисел- неупорядоченное множество.
2) Сложение. z₁+z₂=(a₁+a₂,b₁+ b₂).
Пример: (0,1)+(1,0)=(1,1).
3) Умножение. z₁·z₂=(a₁ a₂-b₁ b₂, a₁b₂+a₂b₁).
Операции сложения и умножения включают действия с действительными числами.
Пример: Умножение чисто вещественного числа на чисто мнимое число. (b,0)x(0,1)=(0,b)= ib -тем самым чисто мнимое число есть произведение соответствующего действительного числа на мнимую единицу.Ю алгебраическая форма записи комплексного числа z=a+ib=Re z+i Im z.
Обратные операции.
4) Вычитание. z₁-z₂=(a₁-a₂,b₁- b₂).
5) Деление.. Пример. 1/i = -i.
6) Возведение в целую степень. Действия с многочленами.
Примеры: a) i²=i i=(0,1)(0,1)=-1. б) 
в) z=(a,b)=a+ib. z²=(a+ib)²=a²+2iab-b²=(a²-b²)+i2ab => Re z²=(a²- b²), Im z²=2ab.
7) Комплексное сопряжение. z=(a, b)=a+ib; Re z= a, Im z=b;
z^*= (a,-b)=a-ib. Re z^*=a ; Im z^*= -b. => Re z =(z+z^*)/2; Im z =(z-z^*)/2i.
Некоторые свойства. (z₁z₂)^*= z₁^*z₂^*; (z₁z₂)^*= z₁^*z₂^*;(z₁/z₂)^*= z₁^*/z₂^*; (z^*)^*=z.
Примеры.  а) z z^*=(a+ib)(a-ib)=a²+b²; б) (z z) ^*=(z²)^*= (a²- b²)-i2ab; в) z₁/z₂= z₁ z₂^*/ z₂ z₂^*.
г) i^*=-i; 1^*=1.
II. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.
 

z=(x,y)=x+iy <=> точка плоскости (x,y). Взаимно однозначное соответствие. Комплексная плоскость. Ось абсцисс Imz=0- действительная ось. Ось ординат Re z=0- мнимая ось.

Пусть на комплексной плоскости задано множество E и закон, ставящий " zО E в соответствие определенное комплексное число w: z w, тогда говорят, что на E задана функция комплексной переменной f(z)=w. E-множество задания (z);
Множество M - значений соответствующих w- множество значений f(z). Задание f(z) есть задание соответствия (отображения) E M.

Примеры. а) w=az+b (поворот, растяжение и параллельный перенос),
б)w=zⁿ, в) w=1/z (симметричное отражение относительно вещественной оси, инверсия).
Структура множеств E и M может быть весьма разнообразной. Мы будем рассматривать случаи, когда E и M- области на комплексной плоскости.
Понятие области комплексной плоскости - это то же самое, что и понятие области плоскости (x,y).
Определение.Областью g комплексной плоскости Z называется множество точек этой плоскости, удовлетворяющее условиям:
1)Все zО g являются внутренними *) точками g.
2)Любые z₁, z₂ О g можно соединить ломаной с конечным числом звеньев, состоящих только из zО g.
Примеры. а) |z|<1 - область; б) |z| 1-не область; в) {z: |z|<1}И {z: |z-5i|<1} не область;
Напомним понятие внутренней точки.
Определение. Точка z₀ называется внутренней точкой множества g, если $ e -окрестность точки z₀ : пz-z₀п<e все точки которой принадлежат g.
Примеры. а) z=0 - внутренняя точка множества |z|<1; б) z=i - не является внутренней точкой множества |z| 1.
Таким образом, в определении области условие
1) означает, что g- открытое*) множество.
2) означает, что g- связное множество.
Итак, область- открытое *) связное *) множество.

Определение.Точка z₀ называется граничной точкой множества g, если в " ее e -окрестности имеются как zО g, так и zП g.
Примеры. а) z=0 - граничная точка множества |z|>0; б) z=i - граничная точка множества |z| 1.
Совокупность граничных *) точек области g называется границей области g. (обозначения: , C, G , S и т.д.)
Граница множества может состоять из конечного числа точек, и даже из одной точки (как, например, у множества |z|>0).
Определение. Замыкание области g, состоящее в присоединении к g ее границы ╤ g называется замкнутой областью=g+.
Множество |z| 1 - замкнутое.
На расширенной комплексной плоскости (т.е. комплексной плоскости с бесконечно удаленной точкой *)замкнутое множество *) называется компактным.
Итак, будем рассматривать случай, когда w=f(z) задана в g и отображает g на область D комплексной плоскости w.
Отображение однозначно (по определению*).
Если z₁, z₂ О g и z₁z₂ : f(z₁)=w₁w₂= f(z₂), то отображение взаимно однозначно
g<=>D.
В этом случае g называется областью однолистности f(z) и f(z) называется однолистной в g.
Примеры. а) w=const, w=az+b -однозначные и однолистные; б) w=zⁿ , w=e^z- однозначные, но не однолистные; в) w=Ln z╨ |z|+i Arg(z), w=- не однозначный функции.
При g<=> D в D $ обратная функция z=j (w), осуществляющая отображение D g.
Если отображение gD однозначно, но не однолистно, то можно говорить об обратной функции, но она не будет однозначной. Об этом позже.
При z=x+iy, f(z)=w=u+iv=u(x,y)+iv(x,y). Тем самым задание f(z) в g комплексной плоскости z есть одновременное задание двух действительных функций двух действительных переменных в области g плоскости (x,y). Поэтому свойства функций комплексной переменной во многом определяются свойствами функции двух действительных переменных.

3. Непрерывность функции комплексной переменной.
п1. Понятие предела (предельного значения) функции комплексной переменной в точке z₀Оg.
Определение 1. (по Гейне)Комплексное число w₀ называется пределомf(z), zО g, в точке z₀Оg, если для " {z_n} z₀ соответствующая последовательность {f(z_n)}w₀.
Замечание. Предполагается, что z₀ является точкой сгущения (предельной точкой *) множества g.
Определение.Точка z₀О g называется точкой сгущения (предельной точкой) множества g, если в " e - окрестности точки z₀ содержатся точки множества g, отличные от z₀.
Определение 2. (по Коши)Комплексное число w₀ называется пределомf(z), zО g, в точке z₀Оg, если для "e >0 $d (e ,z₀)>0 : | f(z)-w₀ |<e , как только 0<| z-z₀|<d
Обозначение: f(z)= w₀.
Замечание. Это определение имеет смысл лишь при конечных значениях z₀ и w₀ в отличие от определения предела по Гейне *).
Определения по Гейне и по Коши эквивалентны, что легко доказать самим.
Доказательство.
1) 2 1 (Коши Гейне). Пусть f(z) удовлетворяет 2. Возьмем "e >0 и выберем соответствующее d (e )>0. Рассмотрим произвольную последовательность {z_n} z₀ и найдем N[d (e )]=N(e ): для " n N(e ) 0<|z_n-z₀|<d . Тогда по условию 2. 0<|f(z_n)-w₀|<e для " n N(e). А т.к. e >0- любое и {z_n}z₀-произвольная, то это значит, что {f(z_n)}w₀, т.е. выполнено 1.
2) 1 2 (Гейне Коши). Предположим противное: пусть верно1, а 2- неверно.
Это значит, что $e₀>0, что "d _n>0 $ z_nОg, что при 0<|z_n-z₀ |<d_n , будет выполнено |f(z)-w₀|>e₀. Выберем {d_n} 0 и соответствующую ей последовательность {z_n}, удовлетворяющую предыдущим неравенствам. Тогда получим, что $ {z_n} z₀, а {f(z_n)}не  w₀. Т.е. 1.- неверно. Получили противоречие. Сделанное предположение неверно. Т.е. из 1 2. n

п2. Непрерывность функции.
Определение непрерывности f(z) в точке z₀. Функция комплексной переменной f(z), zО g, называется непрерывной в точке z₀О g, если $ ограниченный предел :
f(z)= w₀ и w₀= f(z₀), т.е. f(z)= f(z₀).
Очевидно, при этом достаточно малая d - окрестность точки z₀ отображается f(z) на достаточно малую e - окрестность точки w₀= f(z₀).
Определение непрерывности функции в точке в терминах e -d .Функция комплексной переменной f(z), zО g, называется непрерывной в точке z₀О g, если
" e >0 $d (e ,z₀)>0 : для " z : |z-z₀|<d ; |f(z)-f(z₀)| <e .
Замечание 1. Это определение распространяется как на внутренние *), так и на граничные *) точки множества.
Определение.Точка z₀ называется изолированной точкой множества g, если в $ такая ее e -окрестность, в которой нет других точек множества g.
Замечание 2. По определению функция считается непрерывной в изолированной *) точке z₀О g.
Замечание 3. Понятие непрерывности функции f(z), zО g, в точке z₀О g справедливо и в случае бесконечно удаленной точки z₀=*).
При этом под пределом функции f(z) при z по Гейне *) надо понимать предел последовательности {f(z_n)}, где {z_n}- " неограниченно возрастающая последовательность *).
В e -d определении непрерывности функции f(z) при z*) условие ╫ z-z₀╫<d надо заменить на условие |z| >R.
Примеры: а) функции w=az+b, w=z^*, w=const, w=Re z, w=zⁿ, w=|z| - являются непрерывными на всей комплексной плоскости.
б) функция w=arg(z) является непрерывной нам всей комплексной плоскости, за исключением точек z=0, z= , и точек, лежащей на положительной части действительной полуоси.
Основное определение.Функция комплексной переменной f(z), zО g, называется непрерывной в области g, если она непрерывна в " zО g.
Обозначение: f(z)О C(g).
Аналогично определяются понятия f(z)О C(), и f(z)О C(). При этом при определении непрерывности по Гейне в zОили zО надо рассматривать последовательности {z_n}, состоящие только из точек z_nОили z_nО.
Замечание 4. В случае понятия непрерывности по Коши для f(z)О C(g) для заданного e d зависит от (e ,z) (d =d (e ,z)), т.е. на e - окрестность " точки w=f(z)О D отображается d -окрестность соответствующей точки z, где d для различных z- различна.