Более тонкое понятие равномерной непрерывности в g.

Определение.Функция комплексной переменной f(z), z g, называется равномерно непрерывной в g, если для "e>0 $d (e )>0 (зависящее только от e) : такое, что для
"z₁, z₂ g : | z₁-z₂ |<d ; | f(z₁)-f(z₂)| <e .
Любые d - близкие точки области g отображаются на соответствующие e-близкие точки области D.
Очевидно, что из равномерной непрерывности в g следует f(z)?С(g).
Обратное, вообще говоря, не всегда верно.
Определение.Множество g называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором круге (т.е. $R>0 и z₀ : g {z: |z-z₀|<R}).

Если компактное *) множество не содержит бесконечно удаленной точки *), то оно ограничено *).

Теорема 3.1. Если f(z)C() и  ограничена *) то f(z)- равномерно непрерывна *) в .
Доказательство. (от противного)  Пусть для заданного e₀ и для "d_n>0 найдутся хотя бы две точки такие, что |z₁⁽ⁿ⁾-z₂⁽ⁿ⁾|<d_n, а |f(z₁⁽ⁿ⁾)-f(z₂⁽ⁿ⁾)|>e₀. Устремив d_n0, получим последовательности {z₁⁽ⁿ⁾} и {z₂⁽ⁿ⁾}, удовлетворяющие данным неравенствам. Т.к. {z₁⁽ⁿ⁾} ограничена по условию, то из нее можно извлечь {z₁^(nk)} z₁. При этом {z₂^(nk)}- ограничена и из нее можно извлечь {z₂^(nl)} z₂. Т.к. {z₁^(nl)} z₁, а d_n0, то z₁=z₂, и в силу сделанного предположения  |f(z₁)-f(z₂)|>e₀, что противоречит условию непрерывности f(z) в C(). n

Функцию комплексной переменной f(z) можно представить в виде f(z)=u(x,y)+iv(x,y), где u(x,y) и v(x,y)- действительные функции действительных переменных. Тогда справедлива
Теорема. Необходимым и достаточным условием непрерывности  f(z) в g ( f(z) C(g) ) является требование, чтобы u(x,y) и v(x,y) были непрерывны в области g плоскости (x,y) по совокупности переменных.
Данное утверждение является следствием того, что необходимым и достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел является сходимость последовательностей их действительных и мнимых частей.*)

4. Дифференцирование функций комплексной переменной. Понятие аналитической функции.
Пусть f(z)C(g).
Определение. f(z) называется дифференцируемой (или моногенной) в точке z₀g, если при Dz 0 (D z = z-z₀) $конечный предел разностного отношения
где z₀g.

Центральная идея теории функций комплексной переменной возникает при формулировке понятия производной. На первый взгляд эта производная определяется совершено аналогично производной функции действительной переменной, как предел разностного отношения .
Однако, приращение комплексного аргумента D z характеризуется не только величиной |D z|, но и направлением arg D z, а производная по определению от этого направления не зависит. Поэтому дифференцируемость функции комплексного переменного- значительно более редкое явление, чем дифференцируемость функции вещественного переменного, а дифференцируемые функции комплексного переменного- аналитические функции- обладают гораздо более единообразными свойствами, чем дифференцируемые функции действительной переменной.
Важнейшая задача ТФКП- обсудить свойство аналитичности с разнообразных точек зрения, дать его характеристики на разных языках.

Теорема 4.1. Если f(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема(моногенна) в точке z₀, то $u_x(x₀,y₀), u_y(x₀,y₀), v_x(x₀,y₀), v_y(x₀,y₀), причем они связаны условиями
Коши-Римана: u_x(x₀,y₀)=v_y(x₀,y₀) ; u_y(x₀,y₀)=-v_x(x₀,y₀).

Доказательство. D z=D x+iD y. Т.к. предел, если он $ , не зависит от способа стремления Dz 0, то положим сначала Dz=Dx. Получим

= u_x(x₀,y₀)+ iv_x(x₀,y₀)=*. Положив Dz=iD y получим *=
= -iu_y(x₀,y₀)+v_y(x₀,y₀). Приравнивая вещественную и мнимую часть получим u_x(x₀,y₀)=v_y(x₀,y₀) ; u_y(x₀,y₀)=-v_x(x₀,y₀). - условия Коши-Римана. n

Пусть f(z) C(g) и f(z)=u(x,y)+iv(x,y).

Теорема 4.2Если в точке z₀=(x₀,y₀)  g $ первые дифференциалы функций u(x,y) и v(x,y) и первые частные производные этих функций в точке (x₀,y₀) связаны условиями Коши-Римана *), то f(z) √ дифференцируемая (моногенная) функция в точке z₀.
Доказательство. Заметим, что $ первых дифференциалов означает, что

D u= u_x(x₀,y₀)D x+u_y(x₀,y₀)D y+x (x,y); Аналогично

D v= v_x(x₀,y₀)D x+v_y(x₀,y₀)D y+h (x,y); Обозначим V(x,y)=x (x,y)+ih (x,y).

Тогда =(т.к. u_y=-v_x и v_y=u_x).

u_x(x₀,y₀)+iv_x(x₀,y₀)+
=> $n

Замечания.
1) Эквивалентные формы записи производной: f▓(z)=u_x(x,y)+iv_x(x,y)=v_y(x,y)+iv_x(x,y)=u_x(x,y)-iu_y(x,y)=v_y(x,y)-iu_y(x,y)
2) Теорема 4.2 *) не является обратной к теореме 4.1 *).
3) Равенство равносильно тому, что для "e>0 $d (e )>0: такое, что
|Df/D z - f '(z₀)|< e как только |Dz|<d. => Если f(z) дифференцируема (моногенна) в точке z₀, то она и непрерывна в этой точке. Обратное, вообще говоря, неверно.

Основное определение.Функция f(z) C(g), дифференцируемая (моногенная) во всех точках z g, производная которой f ' (z)C(g) называется аналитической функцией в области g.

Обозначение: f(z) C(g).
Понятие аналитичности функции определяет глобальное поведение f(z) в области g.
Теорема 4.3.Необходимым и достаточным условиями аналитичности функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) в области g, являются непрерывность первых частных производных u_x, u_y, v_x, v_y и связь их условиями Коши-Римана *).
Доказательство.
Необходимость. f(z) C (g) => f'(z) C(g) =>u_x, u_y, v_x, v_yC(g). Выполнение условий Коши-Римана следует из Теоремы 4.1 *) .
Достаточность. u_x, u_y, v_x , v_yC(g)=> $первые дифференциалы функций u(x,y), v(x,y) => по теореме 4.2 *)$ f '(z) C(g)=u_x+iv_x;непрерывность f'(z) следует из непрерывности u_x , v_x.n
Замечание. В дальнейшем будет показано, что из f(z)C (g) => f '(z)C  (g) и для "n $ f⁽ⁿ⁾(z)C(g), что оправдывает введенное определение.

Основное замечание. Включение в основное определение *) условия f '(z)C(g) - масло масляное. Основное определение может быть таким: "f(z) называется "аналитической" в g, если она дифференцируема(моногенна) во всех точках zg." и вместо Теоремы 4.2 *) будет
Теорема 4.4.Если u(x,y) и v(x,y) C(g) и в точке z₀=(x₀,y₀) g $первые частные производные u_x, u_y, v_x , v_y связаные условиями Коши-Римана *), то f(z) √ дифференцируемая (моногенная) функция в точке z₀.
Доказательство достаточно сложное (см. например И.И. Привалов "Введение в теорию функций комплексной переменной.")
и вместо Теоремы 4.3 *) будет
Теорема 4.5.  Необходимым и достаточным условиями "аналитичности" функции f(z)=u(x,y)+iv(x,y) в области g, являются непрерывность u(x,y), v(x,y) и в " точке z=(x,y) g $ первые частные производные u_x, u_y, v_x, v_y, связанные условиями Коши-Римана" *).

Однако, оказывается, что f ' (z) "аналитической функции" непрерывна в g, причем для "n f⁽ⁿ⁾(z)C(g), т.е. класс "аналитических функций" не является расширением введенного нами класса, а полностью с ним совпадает!!  Поэтому мы будем пользоваться введенным определением, что в дальнейшем облегчит нам многие доказательства!!

Следствия условий Коши-Римана *) : Попробуйте показать самостоятельно, что
1) Действительная и мнимая части аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа:

п.3. Свойства аналитических функций.

1) Если f(z) C (g) (аналитическая в g), то f(z) C(g) (непрерывна в g).
2) Сумма и произведение аналитических функций есть аналитическая функция. Частное аналитических функций есть аналитическая функция всюду, где знаменатель отличен от нуля.
3) Если w=f(z) C(g) - аналитическая функция комплексной переменной z, причем в области ее значений G на плоскости w определена аналитическая функция
x=j (w) C (G), то функция F(z)= j [f(z)] C (g) -аналитическая функция комплексной переменной z в области g.
4) Пусть w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y) C(g) и f '(z₀)0, z₀g. Тогда в окрестности точки w₀=f(z₀) определена обратная аналитическая функция z=j (w) C (|w-w₀|<e ) отображающая эту окрестность на окрестность точки z₀, причем j '(w₀)=1/ f '(z₀).
Доказательство.  Для существования обратной функции необходимо, чтобы уравнения u=u(x,y), v=v(x,y) можно было разрешить относительно x, y в окрестности точки w₀. Т.е. эти уравнения задают неявные функции x,y как функции u,v. Для этого достаточно, чтобы в окрестности точки z₀ выполнялось условие: 0. Но =u_xv_y-u_yv_x=(Коши-Риман*)= u_x²+v_y²=|f '(z₀)|0. Доказано существование обратной функции z=j(w). Cоставив разностное отношение  можно доказать существование и непрерывность производной j'(w₀) при условии |f '(z₀)| 0.n
5) Пусть в односвязной области g плоскости (x,y) задана функция u(x,y), являющаяся действительной частью аналитической функции f(z). Тогда мнимая часть этой функции определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Доказательство. В силу условий Коши-Римана *) дифференциал неизвестной функции v(x,y) однозначно определен по функции u(x,y):  dv=v_xdx+v_ydy=-u_ydx+u_xdy. Функцию двух действительных переменных можно определить по ее полному дифференциалу с точностью до аддитивной постоянной.n
6) grad u=(u_x,u_y), grad v=(v_x,v_y), (grad u, grad v)=u_xv_x+ u_y v_y=- u_y v_y+ u_y v_y=0. Т.к. градиент ортогонален линии уровня => линии уровня u(x,y)=c, v(x,y)=c взаимно ортогональны.

Примеры простейших функций комплексной переменой.
1) Константа: f(z)=C - аналитическая на расширенной *) комплексной плоскости.
f '(z)=0.
2) Линейная функция f(z)=az+b аналитическая на всей комплексной плоскости.
f '(z)=a.
3) f(z)=1/z - аналитическая всюду, кроме точки z=0.
4) f(z)=zⁿ n-целое число- аналитическая на всей комплексной плоскости. f '(z)=nz^n-1
5) f(z)= z^* =x-iy - не аналитическая. u_x=1 v_y=-1;