Лекция 3.
5. Интеграл от функции комплексной переменной по кривой на комплексной плоскости.
п.1. Вспомогательные положения.
1) Кусочно-гладкая кривая- Множество точек z=z(t)=x(t)+iy(t), где t [a,b] действительный параметр. x(t), y(t)  C[a,b];  x'(t), y'(t) -кусочно- непрерывные на [a,b];. x'2(t)+y'2(t) 0 - нет точек возврата, нет точек самопересечения. Если замкнутая кривая, то x(a)=x(b), y(a)=y(b).
2) Криволинейные интегралы второго рода по кривой на плоскости (x,y).
 
P(x,y)dx+Q(x,y)dy=; 
Sn=P(xk*,yk*)D xk+Q(xk**,yk**)D yk;
|D zk|=[(D xk)2+(D yk)2]1/2. При этом предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек. 
Достаточными условиями существования криволинейного интеграла II рода являются : кусочная гладкость кривой C, кусочная непрерывность и ограниченность функций P и Q.
п.2. Основное определение.Интегралом от функции комплексно переменной f(z)=u(x,y)+iv(x,y) по кривой C комплексной плоскости z называется комплексное число, действительная и мнимая части которого есть криволинейные интегралы второго рода от действительной и мнимой частей f(z) вида:
f(z)dz = [u(x,y)+iv(x,y)] (dx+idy)= udx-vdy +i vdx+udy.
Замечания.
1) Достаточное условие существования- кусочная гладкость контура C и кусочная непрерывность и ограниченность |f(z)|.
2) Из этого определения *) и определения криволинейного интеграла II рода *) => $Sn=f(z)dz; Sn=f(zi*)D zi, причем предел не зависит ни от способа разбиения, ни от выбора промежуточных точек.

П.3. Свойстваf(z)dz .
Поскольку значение контурного интеграла зависит от направления интегрирования, условимся в качестве положительного направления обхода контура принимать направление, при котором внутренняя область, ограниченная данным замкнутым контуром, остается слева от направления движения. Интегрирование в положительном направлении будем обозначать символом тc+ f(z)dz или просто тc f(z)dz, интегрирование в отрицательном направлении- f(z)dz.
1) f(z)dz=-f(z)dz; 2) Линейность. 3) f(z)dz= f(z)dz+┘+ f(z)dz.
4) | f(z)dz||f(z)|ds MLc;
5) Вычисление интеграла интегрированием по параметру: f(z)dz=f[z(t)] z '(t)dt.
Пример. =2p i . Результат не зависит ни от R0, ни от z0 !!

6) Замена переменных. Пусть $ j (x ): z=j (x ); C<=> G на плоскости x и j (x )О C (D) и однолистная в D, где D- область комплексной плоскости x , содержащая G .
=> f(z)dz= f[j (x )]j '(x )dx .

6. Теорема Коши.
п.1. Вспомогательные положения.
1)  Определение. Область g плоскости (x,y) называется квадрируемой еслиsup множества площадей всех вписанных многоугольников P* равна inf множества площадей всех описанных многоугольников P*. Число P=P*=P* называют площадью плоской области g (по Жордану). Достаточное условие квадрируемости- кусочная гладкость (спрямляемость) границы - .
2) Для функции f(x,y) C(g) и |f(x,y)| A- кусочно непрерывной и ограниченной в квадрируемой области g $ f(x,y)dxdy, понимаемый как предел последовательности соответствующих интегральных сумм.
3) Определение .Область g на плоскости называется односвязной, если для " замкнутого контура  g, ограниченная им часть плоскости целиком  g.
4) Формула Грина. Пусть P(x,y), Q(x,y)  C(), причем - кусочно- гладкий контур и Px, Py, Qx, Qy C(g), тогда

Pdx+Qdy=(Qx - Py) dxdy.
П.2. Теорема Коши. Если f(z) C (g), в односвязной *) области g, то для "замкнутого контура g g f(z)dz =0.
Доказательство. f(z)dz= udx-vdy+i vdx+udy=(по формуле Грина *)
= (-vx-uy)dxdy+i(ux-vy)dxdy=(из условий Коши-Римана: ux=vy; uy=-vx *)
= (uy-uy)dxdy+i(vy-vy)dxdy=0. n
Замечания.
1) Требование односвязности области является существенным. Например, пусть область g представляет собой круговое кольцо 1<|z|<3. Функций f(z)=1/z C (g).
Однако,. *) Это связан в частности с тем, что контур |z|=2 не образует полную границу области аналитичности f(z).
2)ОпределениеФункция называется аналитической в замкнутой области g
( f(z) C() ), если f(z) C (g) и f(z)  C ().  Т.е. f(z) C(). Определение справедливо и для многосвязной области.

II-я Теорема Коши. Если f(z) C(),  g-односвязная, то f(z)dz =0.
Теорема переносится и на случай многосвязной области.
Теорема Пусть f(z) C (g), g-многосвязная, ограниченная извне контуром C0, а изнутри- контурами C1, C2,...,Cn и пусть f(z) C(). Тогда f(z)dz =0,  где С-полная граница g, С= C0C1C2... Cn, проходящая в положительном направлении.
 
Доказательство. Проведем гладкие кривые g 1,g2,...,gn, соединяющие контур C0 с контурами C1, C2,...,Cn и не пересекающиеся между собой . Тогда область, ограниченная кривыми C0,C1,C2,...,Cn и кривыми g1,g2,...,gn, проходимыми дважды в противоположных направлениях оказывается односвязной. По II теореме Коши *) интеграл по границе этой области равен 0. Но интегралы по 
вспомогательным кривым g1,g2,...,gn проходятся дважды в противоположных направлениях и при суммировании интегралов выпадают. Поэтому
. n

П.3. Следствия теоремы Коши.
1) Если g- односвязная и f(z) C (g), то для " z1,z2g не зависит от пути
интегрирования. При фиксированном z0 интеграл=F(z)- функция только z!
2) Неопределенный интеграл. Пусть g-односвязная область, f(z) C(g),  для " замкнутого контура g g  интеграл f(z)dz =0. Функция =F(z)- называется неопределенным интегралом от  f(z).
Каковы свойства F(z) ?
Теорема 6.1. Если g-односвязная и f(z) C(g) и для " замкнутого контура g g  интеграл  f(z)dz =0, то F(z) $ и F(z) C (g).
Доказательство. 
<e при п D zп <d =>$=F'(z)=f(z) C(g)
=>F(z) C (g) n

Свойства неопределенного интеграла.
1) Понятие первообразной. Пусть f(z) C(g). Тогда первообразной F(z) функции f(z) в g называется " F(z) C (g) такая, что F '(z)=f(z).
Замечания.
1) Неопределенный интеграл F(z) в односвязной области g- первообразная f(z).
2) Если $ первообразная F(z), то их $ бесконечно много, но все они различаются на аддитивную постоянную F'1(z)- F'2(z)=0 => F1(z)=F2(z)+C.
3) Формула Ньютона-Лейбница. Если g-односвязная и и f(z) C(g) и для " замкнутого контура g g  интеграл  f(z)dz =0, то=F(z2)-F(z1); где F- " первообразная.
4) Формула конечных приращений, вообще гооворя не верна.
f(b)-f(a)=(b-a)f'(x*); x*(a,b).
5) Формула Коши-Адамара. Пусть g- односвязная и f(z) C (g) и для " замкнутого контура g g  интеграл  f'(x )dx =0; f(z)- первообразная f '(z) =>
=f(z+D z)-f(z). В качестве пути интегрирования возьмем прямолинейный отрезок, соединяющий z и z+D z: x =z+D zq ; 0q 1; dx =D zdq . Получим:
f(z+D z)-f(z)=D z- формула Коши-Адамара.
6) При вычислении интеграла от аналитической функции контур интегрирования можно деформировать так, чтобы он не выходил из области аналитичности подынтегральной функции. Деформируя контур интегрирования так, как это допускается теоремой Коши, можно легко вычислить многие интегралы.
 
Важный пример. Вычислить интегралdz/z , по контуру, изображенному на рисунке справа.
Обратим внимание на то, что контур вообще не задан какой-либо формулой. Важны его начальная и конечная точки и то, сколько раз он обходит вокруг начала координат.
Нам нужно разумно деформировать наш контур, чтобы интеграл подсчитывался легко.
Для этого заметим, что интеграл dz/z легко вычисляется по контурам двух типов:
во- первых вдоль действительной оси: dz=dx, =lnx (x>0); во-вторых, что менее очевидно, по дуге окружности с центром в особой точке z=0 и радиусом r . На этой окружности z=r eiq, dz=ir eiqdq , так что т dz/z=iт dq . Поэтому разумно деформировать наш контур в изображенный на рисунке справа, где окружность с центром в нуле и радиуса r пробегается дважды и еще по ней проходит дуга в j радиан. Ответ: наш интеграл равен lnr +4p i+ij

 

Hosted by uCoz