(g) и [a,b]

i

i

$

f(z)=; 1/xC(x0). Интеграл по " пути, (не пересекающему разрез!) $ и  f(z)C(D0)- аналитическое продолжение

Теорема 14.2
Пусть функции w_i=f_i(z)C(g_i) и [a_i,b_i]g_i, w_iD_i. И пусть F (z)=F[w₁,..., w_n] является аналитической функцией каждой из переменных w_iD_i. Тогда из соотношения F[f₁(x₁),...,f_n(x_n)]=0, x_i[a_i,b_i] (*) =>F[f₁(z₁),...,f_n(z_n)]=0, z_ig_i.
Доказательство. Докажем для случая n=2. В общем случае доказательство аналогичное. Фиксируем x°₂[a₂,b₂] и рассмотрим F ₁(z₁)=F[f₁(z₁),f₂(x°₂)]C(g₁). По теореме 14.1 *) из (*) => F ₁(z₁)0, z₁g₁. Т.к. x°₂- произвольное, то => F[f₁(z₁),f₂(x₂)]=0, z₁g₁,
x₂ [a₂,b₂] (**) . Фиксируем z°₁g₁ и рассмотрим F ₂(z₂)=F[f₁(z°₁),f₂(z₂)]C(g₂).
Из (**) =>F₂(z₂)0, z₂g₂ => F[f₁(z°₁),f₂(z₂)]=0, z₂g₂ . Т.к. z°₁- любое из g₁ то F[f₁(z₁),f₂(z₂)]=0, z₁g₁, z₂g₂. n

Примеры.
1.    sin(z₁+z₂)=sinz₁cosz₂+cosz₁sinz₂" z₁,z₂ и другие тригонометрические формулы для функций разных аргументов.
2. w=f(z)=e^z- аналитическое продолжение e^x на всю комплексную плоскость. Т.к. e^x1+x2= e^x1 e^x2=> e^z1+z2= e^z1 e^z2, в частности e^z=e^x+iy=e^x e^iy=w => =>|w|=e^x, arg w=y - показательная функция w= e^z производит отображение прямой y=y₀ на плоскости z на луч arg w=y₀ на плоскости w. Полоса g₀(-p <Imz<p )D₀(-p <arg w<p )- плоскость с разрезом по отрицательной части вещественной оси, причем граничной прямой Imz=-p соответствует нижний берег разреза, а прямой Imz=p - верхний берег разреза.
Обратная функция z=ln₀ w=x+i y=ln |w|+i arg w.
Аналогично, g₁(p <Imz<3p )D₁(p <arg w<3p ). Чтобы при непрерывном переходе точки z из g₀ в g₁ через Imz=p образ этой точки непрерывно переходил из D₀ в D₁ надо склеить берега разрезов, соответствующие общему значению arg w=p . Получим новое геометрическое многообразие - двулистную Риманову поверхность, состоящую из листов D₀ и D₁.
Аналогично g_n((2n-1)p <Imz<(2n+1)p )D_n((2n-1)p <arg w<(2n+1)p ). Полная комплексная плоскость Z бесконечнолистную Риманову поверхность, склеенную из листов D_n, причем лист D_n склеен с листами D_n+1 и D_n-1 по берегам разрезов на которых arg w принимает одинаковые значения. На этой Римановой поверхности определена обратная функция z=Ln w =ln|w|+iArg w, -< Arg w< .
На обычной комплексной плоскости w функция z=Ln w является бесконечнозначной (многозначной). На каждом листе- определенная ветвь ln_n w. w=e^z=e^Lnw. Функция w=e^z - периодическая с мнимым периодом 2pi : e^z= e^z+2pi . e^z- бескончнолистная (многолистная).
Особая роль точки w=0.
При обходе точки w₀0 по достаточно малому замкнутому контуру, мы все время остаемся на одном и том же листе D_n, или возвращаемся на этот лист, дважды пересекая разрез, заходя на D_n-1(D_n+1). При этом, после обхода значение ln_n w не изменится.
При обходе точки w=0 мы пересечем разрез только один раз и с одной ветви ln_n w
(ln_n w₀ = ln |w₀|+i arg w₀, (2n-1)p <arg w₀<(2n+1)p ) перейдем надругую ветвь
ln_n-1 w (ln_n-1 w₀ = ln |w₀|+i arg w₀, (2n-3)p <arg w₀<(2n-1)p ).
Точка w=0 - точка ветвления функции z=Ln w. Причем для Ln w точка w=0- точка ветвления бесконечного порядка.
Аналогичными свойствами обладает бесконечно удаленная точка w=w .Определение. Если для точки z₀ можно указать такую e -окрестность, что при однократном обходе точки z₀ по " замкнутому контуру  этой e -окрестности, происходит переход с одной ветви многозначной функции на другую, то точка z₀ называется точкой ветвления (разветвления) данной многозначной функции.
В окрестности точки ветвления отдельные ветви многозначной функции уже нельзя рассматривать как отдельные однозначные функции, поскольку при обходе точки ветвления их значения меняются.
1.    Для функций w=f₁(z)=и w=f₂(z)= точки z=0 и точки z=╠ 1 соответственно являются точками ветвления второго порядка (Разобрать самостоятельно!).
2.    f(z)=z^a , где a - " число, действительное или комплексное.
f(z)=e^{a Lnz}= e^{a(ln|z|+iArg z)}.
При a =n: e^{in(arg z+2p k)}= e^{in arg z} => f(z)- однозначная (но многолистная, n-листная.).
При a =n/m - f(z) принимает m различных значений (многозначная).
При a иррациональном или комплексном f(z) принимает бесконечное число значений (многозначная).

1ⁱ=e^iLn1= e^{i(ln|1|+i2p k)}= e^{-2p k}, k=0, ╠1, ╠2 ... .

Тригонометрические функции являются бесконечнолистными периодическими функциями.