7. Интегральная формула Коши. (Интеграл Коши)
Пусть f(z) C (). Выразим f(z₀)  z₀  g через значения f(z) на . Рассмотрим
j(z)= C (/z₀). Поэтому, если в области g взять такой замкнутый контур g , чтобы точка z₀ попала внутрь ограниченной им области, то j (z) будет аналитической в двухсвязной области g^*, заключенной между  и g . По теореме Коши для многосвязной области *) интеграл от функции j(z) по кривой +g равен 0: . Т.к. , то . Поскольку интеграл, стоящий слева не зависит от выбора контура, то эти свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность g_r с центром в точке z₀ и радиуса r . Положив на g _r x = z₀+r e^ij,
dx = ir e^ijdj , получим f(x )dj =i[f(x )-f(z₀)]dj + if(z₀)dj =I+2p f(z₀).
Оценим I. | I |2p|f(x )-f(z₀)|. Устремим r 0 при этом. x (r ) z₀.Т.к. f(z)- аналитическая, а следовательно непрерывная в g, то для "e >0 $ d (e )>0 такое, что
|f(x )-f(z₀)|< e, как только |x (r )-z₀|<d. А это значит, что при r 0   I0. Поскольку левая часть и второе слагаемое правой части не зависят от r , то переходя к пределу в обоих частях, получиминтегральную формулу Коши: f(z₀)=.
Замечания.
1.    Формула верна как для g односвязной, так и g- многосвязной, только в последнем случае ⁺- полная граница области, проходимая в положительном направлении. 

2.  Интеграл вида I(z0)= имеет смысл для " положения точки z0 на комплексной плоскости при условии, что z0. Если z0  g, то I(z0)=f(z0), если z0g, то I(z0)=0, поскольку в этом случае подынтегральная

0

) удовлетворяет на у

представляет собой часть контура , лежащую вне круга |

+

Следствия интегральной формулы Коши.

Пусть f(z)О C (g ).
1 Формула среднего значения. Пусть z₀- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность с центром в z₀ и радиусом R, целиком лежащую в g. Тогда f (z₀)== (x = z₀+R e^ij)=f(z₀+Re^ij)dj = f(x )ds ,
(ds=Rdj, круг K_Rg)- формула среднего значения.

2. Принцип максимума модуля.Если f(z) C () и f(z)const, то |f(z)| достигает своего максимального значения только на .
Доказательство (от противного). Пусть $ z₀g: |f(z₀)|=M  |f(z)|, для " z
. M= M => =M.
(C₀-окружность |z-z₀|=R₀, C₀ g; x = z₀+R₀e^ij, ds=R₀dj )=>|f(x )|=M (для " x C₀). Действительно, |f(x )|  M для  " x C₀ по предположению. Далее, пусть в некоторой  точке x₀ C₀ выполнено |f(x₀)|<M. Тогда, т.к. |f(x )| непрерывен на C₀ , то $ дуга g₀
длины L₀ -некоторая окрестность точки x₀ (x₀g₀), на которой |f(x )| M-e , e >0 (а на остальной части окружности |f(x )| =M для " x C₀/g₀). Тогда

(M-e )L₀/2pR₀+M(2pR₀-L₀)/2pR₀=M-e L₀/2pR₀<M => M<M. Чего быть не может. => |f(x )|=M (для "xC₀) => |f(x )|=M (xC': |z-z₀|=R'<R₀) => |f(x )|=M (xK₀ : |z-z₀| R₀) => |f(z^*)|=M для " z^*g.

Покажем это. Соединим точки z0 и z* кривой L g и отстоящей от  на расстояние не меньше чем на d>0. Возьмем z1= C0L. Т.к. |f(z1)|=M, то |f(x )|=M (x K1 :  |z-z1| R1,   R1 d). Далее возьмем z2= C1L и, продолжая данный процесс, за конечное число шагов получим, что

|f(x )|=M (x K_n : |z-z_n| R_n) и z^*K_n. Итак, если |f(z)| принимает максимальное значение M в некоторой внутренней точке области, то |f(z)|M во всей области.
Из условий Коши-Римана для модуля и аргумента аналитической функции *) (f(z)=R(x,y)e^{iF (x,y)} :R_x=RF_y, R_y=-RF _x)=> f(z)const " z g. Получили противоречие c условием теоремы. Доказали, что если |f(z)| const, то он не может достигать max во внутренних точках области. Но т.к. |f(z)| непрерывен в , то он должен достигать max. в некоторой z => |f(z)|  достигает max. в граничных точках.n

Замечания.
1.    Если f(z) C () и f(z) 0  для " z, то имеет место принцип минимума модуля. Для доказательства достаточно рассмотреть функцию j (z)=1/f(z) и воспользоваться принципом максимума модуля *).
2.    Теорема верна как для односвязной, так и для многосвязной области.
3.    Геометрическая интерпретация.
Действительные функции двух действительных переменных u(x,y) и v(x,y)- вещественная и мнимая части аналитической функции  f(z) не имеют в g локальных экстремумов, а могут иметь лишь седловые точки. Линии равного уровня этих функций (если f const) не замкнуты, т.е. упираются в границу области g, либо уходят на бесконечность в случае неограниченной области. Внутри области  g нет точек, в которых эти функции возрастают или убывают по всем направлениям.

Важное обобщение.

8. Интеграл типа Коши.
Пусть C- кусочно-гладкая кривая конечной длины L: ds=L и f(x ) непрерывна в" точкеx C. Тогда при z C $ F(z)=- интеграл типа Коши.
Теорема 8.1. В " z₀ C    F(z₀)- дифференцируема  и F'(z₀)=.
Доказательство.  Пусть z₀ и z₀+D z  C. Т.к. z₀C, то $d ₀>0 и d₀>0 такие, что :замкнутый круг |z-z₀|d₀ ,будет находиться на конечном расстоянии d₀>0 от кривой C. Пусть |D z|<d₀. Тогда для "x С: |x -z₀|>d₀, |x -z₀-D z |>d₀.=

==

<e при |D z|<d <d ₀=> $=F'(z₀)=n.

Замечание.
Непрерывность F'(z), z C доказывается аналогично с помощью оценки |D F'(z)|.

Теорема 8.2. При zC   F(z)C(E\C). Уже доказана.
Теорема 8.3. При zП C F(z) имеет непрерывные n-е производные для " n, причем F⁽ⁿ⁾(z)=. Доказывается методом математической индукции.
Теорема 8.4. (Основная!). Если f(z)C(g), то для " n и " z g $ f⁽ⁿ⁾(z)C (g).

Доказательство. Пусть z₀g. Построим замкнутый контур C, содержащий z₀, который можно стянуть к z₀, оставаясь все время в g. Тогда в силу интегральной формулы  Коши *) f(z₀)=, но это интеграл типа Коши => $ f⁽ⁿ⁾(z₀)= => f⁽ⁿ⁾(z₀)C(g) для " z₀g n.
Итак, если функция f(z) является аналитической в g, то у нее в g $ непрерывные производные всех порядков. Это существенное отличие от функции действительной переменной имеющей непрерывную первую производную в некоторой области, для которой из существования первой производной, вообще говоря, не следует существование высших производных. Например, функция y(x)=x|x| непрерывна на всей числовой прямой; ее производная  y'(x)=2|x| также непрерывна на всей числовой прямой, однако, y"(0) не существует .

Дальнейшие следствия теоремы Коши *) и интеграла Коши *).

Теорема Морера. Если f(z) C(g), g-односвязная и для " g g: f(z)dz=0, где g -замкнутый контур, который можно стянуть в точку, оставаясь в g, то f(z)C (g).
Доказательство. При условиях теоремы $ F(z)=C (g) (Теорема 6.1*), где z₀ и z- произвольные точки g, а интеграл берется по " пути g, соединяющему эти точки. При этом F'(z)=f(z). Но производная аналитической функции сама является аналитической функцией (теорема 8.4 *), т.е. $ F"(z) C(g) а именно F"(z)=f'(z) C(g).n
Замечание.
1.    Теорема Морера является в некотором смысле обратной к теореме Коши *).
2.    Теорема 8.4 *) и Теорема Морера справедливы и для многосвязных ообластей.

Теорема Лиувилля.
Если f(z)C (E) и f(z)const, то при z , |f(z)| .
Другая формулировка:
Если f(z)C (E) и $ M: |f(z)| M для " z (|f(z)|- равномерно ограничен), то f(z)const.
Доказательство. f'(z)=., где C_R: |x -z|=R. По условию теоремы $ M:
|f(z)| M, независимо от R => |f'(z)| 2p RM/2p R²=M/R. Т.к. R можно выбрать сколь угодно большим (R ), а f'(z) не зависит от R, то |f'(z)|=0. В силу произвольности выбора z, |f'(z)|=0 на всей комплексной плоскости E=>f(z)const для " z.n

Определение.
f(z)C (E)(на всей комплексной плоскости) (z ) называется целой функцией.

Целая функция const не может быть ограничена по абсолютной величине.
Так например, целые функции sin z и cos z неограничены по модулю!
Пример целой функции. Функция f(z)=zⁿ.
Отображение области однолистности*)
Сектор раскрыва 2p /n отображается на всю комплексную плоскость.

Важное замечание.  Конфомное отображение плоскости с выколотой точкой или расширенной плоскости на единичный круг невозможно!