Лемма 18.1 Пусть f(z)C (|z|>R₀Imz>0), за исключением конечного числа изолированных особых точек и |f(z)|<M/|z|^1+d, d >0. Тогда f(x )dx =0.
(C'_R- полуокружность |z|=RImz>0).
Доказательство.
При R>R₀: |f(x )dx ||f(x )|ds<Mp R/R^1+d= Mp /R^d0 при Rn .
Замечания.
1.    Если условия Леммы 18.1 выполнены при j₁<arg z<j ₂, то f(x )dx =0.
(C'_R- дуга окружности, лежащая в данном секторе: |z|=R(j₁<arg z<j₂))
2.    Условия Леммы 18.1 будут выполнены, если f(z) является аналитической в окрестности z, которая является нулем не ниже второго порядка для f(z).
Теорема 18.1. Пусть f(x) задана при -<x< и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z0, имеющее конечное число изолированных особых точек z_n, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы 18.1 *) . Тогда $ несобственный интеграл I-го рода f(x)dx=2p iВыч[f(z),z_n].
Доказательство. При R>R₀ рассмотрим замкнутый контур(-R<x<R) C'_R{|z|=RImz>0}. По основной теореме теории вычетов *)f(x)dx+f(x )dx =2p iВыч[f(z),z_n]. Но, по Лемме 18.1 *)f(x )dx =0, правая часть не зависит от R =>
f(x)dx=2p iВыч[f(z),z_n] n .
Замечания.
1.    Если f(x)- четная (f(-x)=f(x)) и удовлетворяет условиям Теоремы 18.1, то
f(x)dx=p iВыч[f(z),z_n]
2.    Имеет место аналогичная теорема, когда аналитическое продолжение f(x) в нижнюю полуплоскость удовлетворяет условиям, аналогичным условиям Леммы 18.1 *) для нижней полуплоскости.

Пример. f(z)=; f(z)dz= =2p iВыч[,eip /n]=(z0=eip /n-полюс 1-порядка)= =2p i/(neip (n-1)/n)=-2p i/(ne-ip /n). С другой стороны,

f(z)dz=f(z)dz+f(x )dx +f(z)dz .При R второе слагаемое 0
(по Замечанию 1 к Лемме 18.1 *) . В третьем слагаемом z=xe^{i2p /n} (f(xe^{i2p /n})=f(x)). Устремив R , получим f(x)dx-e^{i2p /n}f(x)dx= (1-e^{i2p /n})f(x)dx=-2p i/(ne^{-ip /n}) =>f(x)dx=-2p i/[(ne^{-ip /n}) (1-e^{i2p /n})]= p /(n sin p /n).
Лемма 18.2 (Жордана). Если f(z)C(|z|>R₀Imz>0) за исключением конечного числа изолированных особых точек и f(z)=>0 при |z| (равномерно по arg z,
0arg zp ), zImz>0, то при a>0 e^iaxf(x )dx =0, C'_R- полуокружность
|z|=RImz>0.
Доказательство. "e> 0 $ R : |f(z)|<e(R) , |z|>R, причем e(R)0 при R .
При R>R₀: |e^iaxf(x )dx ||e^iaxf(x )|ds

{x =Reij=x+iy,x=Rcosj , y=Rsinj , ds=Rdj ,  eiax=eia(x+iy)= eiaxe-ay, |eiax|=e-ay=e-ay= =e-aRsinj}e R|eiax|dj =e R e-aRsinj dj  =2e Re-aRsinjdj<

 <{sinj(2/p )j при 0jp /2}<2e Re^{-aR(2/p )j} dj =pe (1-e^-aR)/a0 при R,
т.к. e(R)0 при R (a>0) n .
Замечания.
1    Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана *)  при Imz0,
то при a<0 e^iaxf(x )dx =0, C'_R- полуокружность |z|=RImz<0.
2.    Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана  *)  при Rez0,
то при a=ia (a >0) e^-axf(x )dx =0, C'_R- полуокружность |z|=RRez>0.
3.    Если f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана  *) при Rez0,
то при a=-ia (a >0) e^axf(x )dx =0, C'_R- полуокружность |z|=RRez<0.
4.    Лемма Жордана *)  остается справедливой, когда f(z) удовлетворяет условиям Леммы Жордана *)  при Imzy₀ (Rezx₀; Imzy₀; Rezx₀), y₀ (x₀)- фиксированное число, которое может быть как >0, так и <0, а интегрирование производится по дуге полуокружности |z-i y₀|=RImz>0 (|z-x₀|=RImz>0; |z-i y₀|=RImz<0; |z-x₀|=RImz<0). Доказательство аналогично, но при оценке интеграла следует сделать замену x =Re^ij+iy₀ (x =Re^ij+x₀).
5.    Лемма Жордана *)  остается справедливой и при ослабленных условиях на f(z). Пусть f(z) при Imz>y₀ при |z|>R₀, равномерно относительно arg(z-iy₁) при |z| f(z)=>0 в секторах -j ₀arg(z-iy₁)j₁, p-j₂arg(z-iy₁)p+j₀, и равномерно ограничена в секторе j ₁arg(z-iy₁)p-j₂ ,  где 0j₀,j₁,j₂p/2 и y₁>y₀. Тогда при a>0
e^iaxf(x )dx =0, C'_R- полуокружность |z-iy₁|=RImz>y₀.

Теорема 18.2 Пусть f(x) задана при -<x< и $ аналитическое продолжение f(z) на Im z0, имеющее конечное число изолированных особых точек z_n, не имеющее особых точек на действительной оси и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана *) . Тогда $e^iaxf(x)dx=2p iВыч[e^iazf(z),z_n], где z_n- изолированные особые точки в верхней полуплоскости Im z0.
Доказательство. При R>R₀ рассмотрим замкнутый контур
(-R<x<R) C'_R{|z|=R Imz>0}. По основной теореме теории вычетов *)
e^iaxf(x)dx+e^iaxf(x )dx =2p iВыч[e^iazf(z),z_n]. Но, по Лемме Жордана *)
e^iaxf(x )dx =0, правая часть не зависит от R =>
=>e^iaxf(x)dx=2p iВыч[e^iazf(z),z_n] n .
Пример. (k>0, a>0)== == Re p iВыч[,ia] =(z₀= ia -полюс 1-порядка)= Re p i(e^-ka/2ia)=pe^-ka/2a.
Замечание. При незначительном изменении формулировок Лемм 18.1 *) и 18.2 *) они остаются справедливыми и в случае бесконечного числа изолированных особых точек f(z).
Определение. Функция комплексной переменной f(z) называется мероморфной, если она определена на всей комплексной плоскости и не имеет в конечной части плоскости особых точек, отличных от полюсов.
Некоторые интегралы
1. =sign(a)p /2
2.    I=, 0<a<1; I=Выч[z^a-1f(z),z_k]
3.    I=, 0<a<1; I=Выч[z^a-1(1-z)^-af(z),z_k], a₀=f(z).
4.    I=f(x)ln(x)dx=p iВыч[f(z)(lnz-ip /2),z_k]
19.Логарифмический вычет.
Пусть f(z)C (\z₁,┘z_N), z_n- полюса и f(x )ч _x0. Тогда " x √ правильная и $ f(x )ч _x.
Определение. Функция j (z)=f▓(z)/f(z)=[ln f(z)]▓ называется логарифмической производной функции f(z).
Вычеты j (z) в ее особых точках z_n называются логарифмическими вычетами.
Особыми точками j (z) будут нули z⁰_k и полюса z_k функции f(z). Как считать вычеты?
a)    Пусть z⁰_k √ нуль порядка n функции f(z); => f(z)=(z-z⁰_k)ⁿf₁(z), f₁(z⁰_k)0 =>
=> j (z)=n/(z-z⁰_k)+f▓₁(z)/f₁(z) => Выч[j (z),z⁰_k]=n.
b)    Пусть z_k √ полюс порядка p функции f(z);=> f(z)=y (z)/(z-z_k)^p , y (z_k)0 =>
=> j (z)=-p/(z-z_k)+ y ▓(z)/y (z) => Выч[j (z),z_k]=-p.
Теорема 19.1 Если f(z)C(\z₁,┘z_N), z_n- полюса и f(x )ч _x0, то =N-P, где N- полное число нулей f(z) с учетом кратности, P- полное число полюсов f(z) с учетом кратности.
Доказательство. По основной теореме теории вычетов *)
j (x )dx =2p iВыч[j (z),z_m]= 2p i[n_k-p_k]= 2p i(N-P). n
В частности, если f(z)C(), то N=.
Принцип аргумента. dlnf(x )=d ln|f(x )|+i d arg f(x ). Действительная функция ln|f(x )| является однозначной функцией, поэтому ее вариация (изменение) при обходе точкой x замкнутого контура ⁺ равна 0. => Первое слагаемое =0. Второе слагаемое представляет собой полную вариацию arg(f(x )) при обходе точкой x замкнутого контура⁺, деленную на 2p . Итак, N-P=(1/2p )Var[arg(f(x ))]|+ .
Геометрическая интерпретация.  Изобразим значения w=f(z) точками на комплексной плоскости w. Т.к. f(z)C(), то при полном обходе точкой z контура  на комплексной плоскости z, соответствующая ей точка на плоскости w описывает некий замкнутый контур С. При этом точка w=0 может оказаться как вне, так и внутри области, ограниченной контуром C. В первом случае Var[arg(w)]|_С=0. Во втором случае Var[arg(w)]|_С= числу полных обходов вокруг точки w=0, которое совершает точка w при своем движении по контуру C. При этом точка w может обходить точку w=0 как в положительном направлении (против часовой стрелки), так и в отрицательном (по часовой).
Принцип аргумента. Разность между полным числом нулей и полюсов функции f(z) в области g определяется числом оборотов, которое совершает очка w=f(z) вокруг точки w=0, при положительном обходе точкой z контура .
Теорема Руше Если f(z), j (z)C() и |f(z)|>|j (z)| , то N[f+j ]_g=N[f]_g.
Доказательство. Для f(z) и F(z)=f(z)+j(z) выполнены все условия Теоремы 19.1 *) Действительно, f(z)C() => f(z) | не имеет особых точек и т.к.
|f(z)|>|j (z)|=>|f(z)|0.
F(z)C() => F(z) | не имеет особых точек и т.к. |F(z)|=| f(z)+j (z)||f(z)|- |j (z)| >0. =>N[f+j ]_g=(1/2p )Var[arg(f+j )]; N[f]_g=(1/2p )Var[arg(f)];
N[f+j ]_g-N[f]_g=(1/2p )Var[arg(f+j )- arg(f)]={arg a-arg b=arg a/b т.к. a=|a|e^iarga, b=|b|e^iargb=> a/b=(|a|/|b|)e^{i(arg a-arg b)}=> arg a/b = arg a-arg b }= 
=(1/2p )Var[arg((f+j )/f)]=(1/2p )Var[arg(1+j /f)]|_. Введем функцию w=1+j /f. При обходе точкой z контура  соответствующая ей w опишет некоторую замкнутую кривую C, которая т.к. |f(z)|>|j (z)| целиком будет лежать внутри некоторого круга |w-1|r <1, т.е. точка w=0 лежит вне кривой С. => Var[arg(1+j/f)]|=0 n .
Основная теорема высшей алгебры. Полином n-ой степени имеет на комплексной плоскости ровно n нулей (с учетом их кратности).
Доказательство. Представим полином F(z)=a₀zⁿ+a₁z^n-1+┘+a_n в виде F(z)=f(z)+j (z), где f(z)=a₀zⁿ, j (z)= a₁z^n-1+┘+a_n. Составим отношение j (z)/f(z)=(a₁/a₀)1/z+┘+(a_n/a₀)1/zⁿ.
Для " a₀, a₁, a_n  $ R₀, что для " |z|=R> R₀    0<|j (z)/f(z)|_|z|=R<1.
В силу Теоремы Руше *)  N[F] _|z|=R= N[f] _|z|=R. Но функция f(z)=a₀zⁿ на всей комплексной плоскости имеет единственный n-кратный нуль- точку z=0.=> N[F] _|z|=R= N[f] _|z|=R=n n