=P(z)+Q(z). P(z) называется правильной частью ряда Лорана, Q(z)- главной частью ряда Лорана. P(z)

n

n

2.    Внутри кругового кольца сходимости ряд Лорана можно почленно дифференцировать и интегрировать любое число раз, при этом полученные ряды также 

), то она однозначно разложима в этом кольце в ряд Лорана f(z)=

+ 

выполняется неравенство . Поэтому, дробь 1/(

получим P(z)=

выполняется неравенство . Поэтому, дробь

=> ряд 

2

Докажем единственность. Предположим, что имеет место другое разложение f(z)= 

n

имеет место равенство: 

. Тогда ряды 

и 

, где m- произвольное целое число и проинтегрируем почленно. Рассмотрим . Положив z-z

., получим 

16. Изолированные особые точки однозначной аналитической функции.
Определение. Точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если f(z) однозначная и C(0<|z-z₀|<r (z₀)), а точка z₀ является особой точкой *) функции f(z).
Другими словами, точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если $ такая окрестность точки z₀, в которой нет других особых точек функции f(z).
В самой особой точке z₀ функция f(z) может быть не определена. Функцию f(z) в окрестности точки z₀ можно разложить в ряд Лорана, сходящийся в кольце
0<|z-z₀|<r (z₀). Поведение функции f(z) в окрестности точки z₀ определяется главной частью ряда Лорана Q(z)=.
Важное замечание  В малой окрестности точки ветвления и неизолированной особой точки вообще нельзя раскладывать в ряд Лорана!
Возможны три случая:

a)    Для "n>0  c_-n=0; Q(z)=0; f(z)c₀ при zz₀- устранимая особая точка. z₀ - правильная точка f(z). Если функция не определена в точке z₀, то ее можно доопределить по непрерывности, положив f(z₀)=c₀. В окрестности устранимой особой точки 0<|z-z₀|<r(z₀) : |f(z)|<M и f(z)=(z-z₀)^mj(z), m0- целое, j(z₀)0; и если f(z)=0, то z₀- нуль m- того порядка.
Теорема 16.1 Если f(z)C(0<|z-z₀|<r(z₀)) и |f(z)|<M при 0<|z-с|<r(z₀), то z₀- устранимая особая точка.
Доказательство. Разложим f(z) в ряд Лорана и рассмотрим выражение для коэффициентов главной части. c_-n=, n>0. В качестве контура интегрирования выберем круг с центром в точке z₀ и радиуса r: |x -z₀|=r. Тогда , сделав замену x-z₀=re^ij,  dx =ire^ijdj и учтя, что |e^inj|=1, получим оценку: |c_-n|<r Mr^n-10 при r0. Т.к. значения c_-n не зависят от r , то c_-n=0. n

b)    Ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки содержит конечное число членов с отрицательными степенями; Q(z)=;  c_-m0.
f(z) при zz₀- полюс порядка m, f(z)=; y(z₀)0
Теорема 16.2   Если f(z)C(0<|z-z₀|<r(z₀)), z₀- изолированная особая точка f(z) и |f(z)|=> при zz₀ (независимо от способа стремления z к z₀), то z₀- полюс f(z).
Доказательство. |f(z)|=> при zz₀ => для "A>0 $e : 0<|z-z₀|<e, |f(z)|>A; Рассмотрим g(z)=1/f(z); g(z)C(0<|z-z₀|<e ); |g(z)|<1/A=M => z₀- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1 *); => g(z)=(z-z₀)^mj(z), m0, j(z₀)0 => f(z)=; y(z₀)0 n

c)    Точка z₀ называется существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности ее изолированной особой точки z₀ содержит бесконечно много членов с отрицательными степенями разности (z-z₀). (Бесконечное число коэффициентов c_-n0). Поведение аналитической функции в окрестности существенно особой точки описывается следующей теоремой.
Теорема Сохоцкого-Вейерштрасса Для " комплексного числа B и "e>0, в "h - окрестности существенно особой точки z₀ 0<|z-z₀|<h  $ z₁: |f(z₁)-B|<e .
Доказательство. (От противного)  Пусть $ такие e₀ и h ₀: для "z  0<|z-z₀|<h₀; |f(z)-B|>e₀. Рассмотрим g(z)=1/[f(z)-B]=> |g(z)|=1/|f(z)-B|<1/e₀=M. => z₀- устранимая особая точка g(z) (по Теореме 16.1 *); => g(z)=(z-z₀)^mj(z), m0, j(z₀)0 => f(z)=B+; y(z₀)0 => z₀- полюс f(z) m0, или правильная точка при m=0. Получили противоречие. n
Замечание 1. {h_n}0 =>{z⁽ⁿ⁾₁}z₀. {f(z⁽ⁿ⁾₁)}B=> в окрестности существенно особой точки можно выбрать {z⁽ⁿ⁾₁}z₀ такую, что {f(z⁽ⁿ⁾₁)} сходится к " наперед заданному числу.
Пример. f(z)=e^1/z  точка z=0 - существенно особая.

Классификация изолированных особых точек на языке пределов.

Пусть z₀- изолированная особая точка f(z)C(0<|z-z₀|<r (z₀)).
a)    Если при z из окрестности 0<|z-z₀|<r(z₀) и при zz₀   f(z)c₀   |c₀|<, то z₀ -устранимая особая точка f(z).
b)    Если при z из окрестности 0<|z-z₀|<r (z₀) и при zz₀ f(z) , то z₀ -полюс f(z).
c)    Если при z из окрестности 0<|z-z₀|<r (z₀) и при zz₀ f(z) не имеет конечного или бесконечного предела, то z₀ -существенно особая точка f(z).

Определение. zявляется изолированной особой точкой однозначной аналитической функции, если $R>0 : для "z : |z|>R f(z) не имеет особых точек, находящихся на конечном расстоянии от точки z=0.
Ряд Лорана в окрестности z : f(z)=c_nzⁿ, R<|z|<.
a)    zназывается устранимой особой точкой f(z), если все c_n=0 при n>0 f(z)=c_nzⁿ, или $ конечный предел f(z) при z.
b)    zназывается полюсом f(z) если ряд Лорана функции f(z) в окрестности z  содержит конечное число членов с положительными степенями f(z)=c_nzⁿ, (m>0) или f(z) при z.
c)    Точка zназывается существенно особой точкой функции f(z), если ряд Лорана функции f(z) в окрестности zсодержит бесконечно много членов с положительными степенями z:  f(z)=c_nzⁿ, или при z у f(z) нет конечного или бесконечного предела.

17. Понятие вычета аналитической функции в изолированной особой точке.
Пусть z₀- изолированная особая точка аналитической f(z). f(z)=c_n(z-z₀)ⁿ; 0<|z-z₀|<r , c_n=.
Определение. Комплексное число Выч[f(z),z₀]=, где С⁺- замкнутый контур, который можно стянуть к z₀, оставаясь в кольце аналитичности функции f(z)- называется вычетом f(z) в точке z₀.
Очевидно Выч[f(z),z₀]=c_-1.
Основная теорема теории вычетов. Пусть f(z)C(\z₁,z₂,...,z_N) за исключением конечного числа N изолированных особых точек. Тогда f(z)dz =2p iВыч[f(z),z_n].
Доказательство.  Если f(z)C(), то все точки - правильные точки f(z). Выделим каждую из изолированных особых точек z_n функции f(z) замкнутым контуром g_n, не содержащих внутри других особых точек, кроме z_n. В замкнутой многосвязной области, ограниченной  и всеми контурами g_n   f(z) является всюду аналитической. По теореме Коши для многосвязной области *)f(z)dz+f(z)dz=0. Перенеся второе слагаемое направо, поменяв направление обхода контуров, использовав определение вычета *) получим искомое f(z)dz =2p iВыч[f(z),z_n]. n
Как считать вычеты?
a)    z₀- устранимая особая точка *). Выч[f(z),z₀]=0.
b)    z₀- полюс порядка m>0 *). f(z)=c_-m/(z-z₀)^m+...+ c_-1/z-z₀+c₀+... =>
=> (z-z₀)^mf(z)= c_-m+...+ c_-1(z-z₀)^m-1+...=>
Выч[f(z),z₀]=c_-1=.
Частный случай m=1. Выч[f(z),z₀]=c_-1=.
Если f(z)=j(z)/y (z), j (z₀)0, y (z)=(z-z₀) y '(z₀)+...; y '(z₀)0.
Тогда Выч[f(z),z₀]=c_-1=j (z₀)/y '(z₀).
c)     z₀- существенно особая: Выч[f(z),z₀]= c_-1=
Вычет f(z) в z . Выч[f(z),z ]=-=-c_-1. Если z- устранимая особая точка, то вычет в ней может быть отличен от 0.
Пример. f(z)=1+1/z. z - устранимая особая точка, Выч[f(z),z]= -c_-1=-10.
Сумма всех вычетов функции, аналитической на полной комплексной плоскости, за исключением конечного числа изолированных особых точек+ z , включая вычет в z равна 0.