11. Степенные ряды.
Степенным рядом назовем ряд вида c_n(z-z₀)ⁿ, z₀-центр, c_n- коэффициенты заданные комплексные числа. При z= z₀ ряд сходится. Это может быть как единственная точка сходимости n!zⁿ, а также ряд может сходится на всей комплексной плоскости zⁿ/n!. При исследовании степенного ряда важно установить область его равномерной сходимости. Как будет показано далее, область сходимости степенного ряда определяется видом его коэффициентов c_n.
Теорема Абеля. Если степенной ряд c_n(z-z₀)ⁿ сходится в точке z₁╧z₀, то он сходится и при " z: |z-z₀|<|z₁-z₀|, причем в круге |z-z₀|r <|z₁-z₀| сходится равномерно.
Доказательство. В силу необходимого условия сходимости ряда*) $ A>0 : для " n |c_n(z₁-z₀)ⁿ|<A =>|c_n|<A/|z₁-z₀|ⁿ =>|c_n(z-z₀)ⁿ|<A|(z-z₀)/(z₁-z₀)|ⁿ. По условию теоремы |(z-z₀)/(z₁-z₀)|=q<1=>|c_n(z-z₀)ⁿ|<Aqⁿ=> ряд сходится. При |z-z₀|r <|z₁-z₀| ряд сходится равномерно по мажорантному признаку Вейерштрасса *) т.к. |c_n(z-z₀)ⁿ| A|r /(z₁-z₀)|ⁿ < Aqⁿ , q<1 n .

Следствия теоремы Абеля.
1.    Если степенной ряд расходится в точке z₂╧z₀, то он расходится и при " z: |z-z₀|>|z₂-z₀|. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля *) ряд должен сходится в " круге радиуса r <|z-z₀|, в частности и в точке z₂, что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим sup|z₁-z₀|=R для " z₁, где ряд сходится- точную верхнюю грань расстояний от точки z₀ до точек z₁ в которых сходится ряд c_n(z-z₀)ⁿ. Если R , то для " z₂: |z₂-z₀|>R ряд расходится. R=inf|z₂-z₀|=R для
" z₂, где ряд расходится. Пусть R>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z₀|<R -круг сходимости степенного ряда, число R>0- радиус сходимости степенного ряда.Внутри круга сходимости ряд сходится, вне- расходится, в точках границы |z-z₀|=R   может как сходиться, так и расходиться.
3.Формула Коши-Адамара. R=1/L, L=
Доказательство. Пусть 0<L< . Имеем:
1) Т.к. L=, то для " e>0$ N, что для " n> N <L+e .
2) С другой стороны, для того же "e>0 $ много членов последовательности {}: >L-e .
Надо доказать:
a) Для " z₁: |z₁-z₀|<R=1/L (или что то же самое L|z₁-z₀|<1) ряд сходится.
b) Для " z₂: |z₂-z₀|>R=1/L (L|z₁-z₀|>1) ряд расходится.
Докажем это.
a) Возьмем произвольную z₁: L|z₁-z₀|<1 и выберем e =(1-L|z₁-z₀|)/2|z₁-z₀|, тогда
L+e =(1+L|z₁-z₀|)/2|z₁-z₀|. Т.к. для " n>N:<L+e =>|z₁-z₀|<(1-L|z₁-z₀|)/2=q<1. => |c_n(z₁-z₀)ⁿ|<qⁿ- ряд сходится.
b) Выберем e =(L|z₂-z₀|-1)/|z₂-z₀| => L-e =1/|z₂-z₀|. Т.к. для числа членов >L-e => |z₂-z₀|>1=> |c_n(z₂-z₀)ⁿ|>1- ряд расходится. n
Случай L=0:  "e>0$ N, что для " n>N <e . Положим для " z и 0<q<1  e =q/|z-z₀| =>|z-z₀|<q =>|c_n(z₁-z₀)ⁿ|<qⁿ- ряд сходится для " z, т.е R= =1/0=1/L.
Случай L=: для " M> 0$ много членов {}: >M. "e>0$ N, что для
" n>N <e . Положим для " zz₀ и q>1 M=q/|z-z₀| =>$ много членов |z-z₀|>1 =>|c_n(z₁-z₀)ⁿ|>1- ряд расходится для " zz₀, т.е R=0=1/ =1/L
4.    В " круге |z-z₀| r <R степенной ряд сходится равномерно. =>  По теореме Вейерштрасса *)c_n(z-z₀)ⁿ=f(z) C (|z-z₀|<R).
5.    По теореме Вейерштрасса *) степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно *) любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется !
6. c_n(z-z₀)ⁿ=f(z)=> c₀=f(z₀), c_n+1(n+1)(z-z₀)ⁿ=f'(z)=> c₁=f'(z₀)┘
c_n+k(n+k)!(z-z₀)ⁿ=f^(k)(z)=> c_k=f^(k)(z₀)/k!
7.    Пример.(z-z₀)ⁿ : " c_n=1 => R=1. S_n=[1-(z-z₀)ⁿ⁺¹]/[1-(z-z₀)]; |z-z₀|<1 и S_n=1/[1-(z-z₀)]. => (z-z₀)ⁿ=1/[1-(z-z₀)]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.
Итак c_n(z-z₀)ⁿ=> f(z) C(|z-z₀|<R). Можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции?
Ответ на этот вопрос дает
Теорема Тейлора. Если f(z) C(|z-z₀|<R), то $! степенной ряд c_n(z-z₀)ⁿ =>f(z) при |z-z₀|<R.

Доказательство. Возьмем " z: |z-z0|<R и построим CR' с центром в точке z0 и содержащую точку z внутри:  для "xО CR' : |x -z0|=R', R'<R, |x -z0|>|z-z0|.  Т.к. f(z) C (|z-z0|<R'), то по формуле Коши *) f(z)= ;

 1/(x -z)=1/[(x -z₀)-(z-z₀)]=ряд сходится равномерно по x на C_R'=>f(z)=(z-z₀)ⁿ=c_n(z-z₀)ⁿ;

c_n==f⁽ⁿ⁾(z₀)/n!, что и доказывает $ и единственность разложения. n
Замечания. 1) Разложение функции f(z)=c_n(z-z₀)ⁿ называют разложением функции в ряд Тейлора.
2) По теореме Коши *) c_n=, где C- произвольный кусочно-гладкий контур, содержащий внутри себя точку z₀.

12. Единственность определения аналитической функции.
п.1. Понятие правильной точки.
Пусть f(z) задана в g, за исключением может быть некоторых изолированных точек.
Точка z₀g называется правильной точкой функции f(z), заданной в g, если $c_n(z-z₀)ⁿ=f(z) в g|z-z₀| <r (z₀), где r (z₀)-радиус сходимости степенного ряда. *)
Все остальные точки zg- особые точки функции f(z), заданной в g.

Замечание. Если f(z)C(g), то все zg- правильные точки f(z). Если f(z) задана в , то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми.

п.2. Нули аналитической функции.
Пусть f(z)C(g); f(z₀)=0, z₀ g, тогда  z₀ - нуль аналитической функции. f(z)=c_n(z-z₀)ⁿ => c₀=0. Если c₁=┘= c_n-1=0, а c_n0, то z₀ - нуль n-того порядка.
Заметим, что в нуле n-того порядка f(z₀)=f'(z₀)=┘ f^(n-1)(z₀)=0, f⁽ⁿ⁾(z₀)0 и f(z)=(z-z₀)ⁿ f₁(z), f₁(z₀)0.
Теорема о нулях аналитической функции.
Пусть f(z)C(g) и обращается в 0 в бесконечном множестве различных точек
(z_iz_k, все z_ng и f(z_n)=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) z^*g
(z_n=z^*g). Тогда f(z)0, для zg.
Доказательство. По непрерывности f(z^*)=0 => f(z)=c_n(z-z^*)ⁿ, где |z-z^*|<r (z^*) => c₀=0, и f(z)=(z-z^*)f₁(z); f₁(z)= c_n(z-z^*)ⁿ; f₁(z_n)=0=> по непрерывности f₁(z^*)=0 => c₁=0 и так далее => c_n=0 для " n. Итак f(z)0 в круге |z-z^*| <r (z^*), где r (z^*) не меньше, чем расстояние от z^* до . Тождественное равенство f(z)0 во всей области g доказывается аналогично доказательству принципа максимума *)
Достаточно показать, что f(z^**)=0, где z^**g - произвольная точка, лежащая вне круга |z-z^*| <r (z^*). Соединим z^* и z^** спрямляемой кривой L, целиком лежащей в g и отстоящей от  на расстояние d>0. Поскольку " точку круга |z-z^*|<r (z^*), лежащую внутри g можно рассматривать как предел последовательности нулей функции f(z), то выбрав в качестве нового центра разложения последнюю точку z=z₁ пересечения кривой L с окружностью |z-z^*|=r (z^*), получим, что f(z)0 внутри круга |z-z₁|<r (z₁), где
r (z₁)d. Продолжая этот процесс, покроем кривую L конечным числом кругов, радиусов не меньше d, внутри которых f(z)0. При этом точка z=z^** попадет внутрь последнего круга => f(z^**) 0. В силу произвольности z^** => f(z)0 в g.n
Следствия.
1.    Все нули f(z)C(g) и f(z) тождественно 0 в g - изолированные.
2.    Если f(z)C(g) и f(z) тождественно 0 в g, то в " ограниченной ' g может быть лишь конечное число нулей f(z).
Доказательство  Если множество нулей в '- бесконечно, то из него можно выделить пооследовательность, сходящуюся к z'  =>f(z)0 в g, что противоречит условию. n
2.    Если f(z)- целая *), то в " ограниченной' может быть лишь конечное число нулей f(z). На расширенной комплексной плоскости *) целая функция может иметь лишь счетное число нулей, причем предельноой точкой этого множества является бесконечно удаленная точка *) .
п.3. Теорема единственности определенной аналитической функции.
Теорема. Если f₁(z) и f₂(z)C(g) и $ {z_n}z^*g, z_iz_k и f₁(z_n)=f₂(z_n), то f₁(z)f₂(z) для " zg.
Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях *) установить, что функция h(z)=f₁(z)-f₂(z)0 в g.
Следствия теоремы единственности.
Множество задания аналитической функции.
В области g  может существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на
a)    {z_n}z^*g, z_iz_k
b)    xCg, C- кусочно-гладкая кривая.
c)    z' g.
Другими словами: Функция аналитическая в g однозначно определяется заданием своих значений на   a), b), c).
Существенное замечание. Может - не значит существует. Нельзя произвольно задавать значения f(z_n) или f(C) или f(') !