9.
Интегралы, зависящие от параметра.
9.
Интегралы, зависящие от параметра.
Пусть на
комплексной плоскости Z заданы: кусочно- гладкий контур C конечной
длины L: 
ds=L,
область
g,
и
функция двух комплексных переменных
w=j
(z,x ), z
g, xC,
удовлетворяющая
следующим условиям:
1. Для "
x0C j(z,x0)=f(z)C
(g),
т.е. $ 
j/z(z,x0)C(g).
2. j(z,x
)- непрерывна по совокупности переменных.
Т.е. "e>0 $d(e, z,x)
>0:
|j( z+D z,x+Dx)-j(
z,x) |<e при
|D
z|,|Dx |<d .
3. j
/z(z,x
),┘, nj/zn(z,x
)- также непрерывны по совокупности переменных.
Замечание.
Из 2 следует, что j(z,x)
непрерывна по z в "zg
равномерно
по x, т.е.
для фиксированного z0g
и
"e>0
$d(e,
z0)>0
такое,
что |j( z0+D
z,x)-j( z0,x)
|<e
при |D
z|<d для всех
xC
одновременно.
Доказательство. От противного,
аналогично доказательству равномерной непрерывности в замкнутой области
(Теорема 3.1 *).
Аналогичное утверждение справедливо и
для
j/z(z,x
).
Теорема
9.1 Если j(z,x
), zg, xC
удовлетворяет условиям 1-3, то интеграл, зависящий от параметра z $
и является аналитической функцией z в области g.
j(z,x
)dx =F(z)C(g)
и F(n)(z)=nj/
zn(z,x )dx
.
Доказательство. Разобьем
доказательство на 3 этапа:
1. Докажем, что F(z)C(g).
|D F|=|F(z+D
z)-F(z)|=|[j
(z+D z,x )-j
(z,x )]dx |
L
|j(z+D
z,x )-j (z,x
)|<
<(по замечанию к условию 2 *)
< Le '<e как
только
|D z|<d(e)
.
2. Докажем, что $
=F'(z)=
.
<
<(по замечанию
к условию 2 *) < Le
'<e как только
|D
z|<d(e) .
3. Докажем, что F'(z)
C(g). Доказательство аналогично п.1.
Итак, F(z)C(g)
и F(n)(z)=nj/zn(z,x
)dx . n
10.
Ряды аналитических функций.
п.1. Числовые
ряды.
Пусть дана последовательность 
.
Составим Sn=
ak-
частичная
сумма,
составим последовательность частичных
сумм 
и рассмотрим 
ak
- числовой ряд.
Определение.
Числовой ряд называется сходящимся, если сходится {Sn}╝
S. Предел последовательности частичных сумм
называется суммой рядаak=S.
Необходимый и достаточный признак сходимости:
Критерий Коши сходимости числовой последовательности *):
для "e>0 $
N(e ): | Sn+m-Sn|<e
для
"n
N и
"m>0.
Отсюда следует
Необходимый
признак сходимости ряда (Но не
достаточный!) : an
0
при n.
.
Доказательство. Пусть ряд сходится,
тогда "e>0
$
N(e ): | Sn+m-Sn|<e
для
"
n
N и
"m>0.=>
|an+1|= | Sn+m-Sn|<e
для
"n
N=> an0 при n.
n
Определение. 
ak=rn-
n-й
остаток ряда.
Т.к. rn+m-rn=
ak=Sn+m-Sn,
то
необходимым
и достаточным признаком сходимости числового ряда является стремление
|rn|0
при
n.
Доказательство. Необходимость.
Если ряд сходится, то |rn|=|S-Sn|
0.
Достаточность. |Sn+m-Sn|=|ak|=|rn+m-rn|.
Пусть
|rn|0
=> Для "e>0
$
N(e ): |rn|<e
/2 для "n
N=>|rn+m|<e /2 для
"nN
и "m>0 =>|Sn+m-Sn|=|rn+m-rn|<e
=> ряд сходится.n
Определение. Если |ak|<
(сходится) , то ряд называется абсолютно
сходящимся.
Очевидно, что если ряд сходится абсолютно,
то он сходится. Обратное, вообще говоря, неверно. Например, ряд (-1)k/k
сходится, тогда как ряд 1/k-
расходится,
Достаточными критериями абсолютной
сходимости рядов являются признаки Даламбера и Коши.
Признак
Даламбера. Если начиная с некоторого номера N выполняется
неравенство |an+1/an|L<1
для
"nN,
то ряд |ak|
сходится.
Если начиная с некоторого N
|an+1/an| 1
для
"nN,
то ряд ak
расходится.
Признак
Даламбера в предельной форме.
Если $ 
|an+1/an|=L,
то при
L<1
ряд |ak|
сходится,
при L>1 рядak
расходится,при
L=1 ничего сказать нельзя.
Доказательство. Если L<1,
то
$e>0:
L<1-2e
=>L+e <1-e.
Т.к. $
|an+1/an|=L, то $
N:
L-e <|an+1/an|<
L+e <1-e =q<1,
для
"
nN =>|an+1|<|an|q<┘<|aN|qn+1-N,
т.е.
ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q<1.n
Аналогично доказывается расходимость ряда
при L>1.
Признак
Коши.
Если начиная с некоторого N 
L<1
для
"nN,
то ряд |ak|
сходится.
Если начиная с некоторого N
1 для "nN,
то ряд ak
расходится.
Признак
Коши в предельной форме.
Если $ =L,
то
при L<1 ряд |ak|
сходится,при
L>1 рядak
расходится,при
L=1 ничего сказать нельзя.
Доказательство. Если L<1,
то
$e>0:
L<1-2e
=>L+e <1-e.
Т.к. $=L,
то $N:
L-e <<L+e
<1-e =q<1, n
N, q<1=>|an|<qn, т.е.
ряд мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q<1.n
Аналогично доказывается расходимость ряда
при L>1.
п.2.
Функциональные ряды.
Пусть дана последовательность 
,
z g.
Выражение uk(z)-
называется
функциональным
рядом, заданным в g.
Определеие.Если
при " zg,
соответствующий числовой ряд сходится к определенному комплексному числу
w(z), то в g определена f(z)=w, которая называется суммой функционального
ряда, а сам ряд называется
сходящимся
в g.
Если ряд сходится в g, то
"e>0
$
N(e,z): | rn(z)| <e
для
"n
N(e ,z).
Необходимый и достаточный признак сходимости:
Критерий Коши: для "e>0
$
N(e ,z): | Sn+m(z)-Sn(z)|
<e для
"nN
и
"m>0.
Вообще говоря, в каждой точке zg
N свое: N=N(e
,z) и общего N для всей z может
и не существовать.
п.3. Равномерная
сходимость.
Если для
"e>0
$
N(e) что
|
rn(z)| <e для
"nN(e)
и " z одновременно,
то ряд .uk(z)
называется равномерно сходящимся к функции f(z) в g.
Обозначение: uk(z)=>f(z).
Понятие равномерной сходимости-глобальное.
Необходимое и достаточное условие равномерной
сходимости- критерий Коши:
Если для "e>0
$
N(e ): | Sn+m(z)-Sn(z)|
<e для
"nN
и
"m>0
и " z одновременно,
то ряд .uk(z)=>f(z).
Доказательство.
Необходимость. Пусть ряд uk(z)
сходится равномерно к f(z):
"e >0 $
N(e) что |f(z)-Sn(z)|
<e /2 для "nN(e)
и "zg
=> и подавно |f(z)-Sn+m(z)|
<e /2 =>
=>| Sn+m(z)-Sn(z)| <e
для
"nN
и
"m>0
и "zg.
Достаточность. Пусть для
"e>0
$
N(e ): | Sn+m(z)-Sn(z)|
<e (*) для "nN
и
"m>0
и "zg
=>
в
"zg
выполнен
критерий Коши для числового ряда, т.е. все числовые ряды сходятся и в g
определена f(z)=uk(z).
Переходя
в (*) к пределу при m
получим |f(z)-Sn(z)|e
для
"nN(e)
и "zg
=> |rn(z)| <e для
"nN(e)
и "zg.
n
Достаточный
признак равномерной сходимости Вейерштрасса. (Мажорантный признак Вейерштрасса).
Если |uk(z)|<ak,
ak>0 для "kN
и "zg
и ak<
(сходится), то uk(z)=>f(z)
в
g.
Доказательство. |rn(z)|
=|uk(z)||uk(z)|<ak<e
для
"nN(e)
и "zg.
n
п.4. Свойства равномерно сходящихся рядов.
1) Пусть
uk(z)С(g)
и uk(z)=>f(z),
тогда f(z)С(g).
Доказательство. |D
f|=|f(z+D z)-f(z)||f(z+D
z)-Sn(z+D z)|+|Sn(z+D
z)-Sn(z)|+|Sn(z)-f(z)|?
e
/3+e /3+e /3=e
для
|D
z|<d , nN.n
2). Пусть
uk(z)С(g)
и uk(z)=>f(z).
Пусть С кусочно- гладкий контур Cg
конечной
длины L: ds=L,
тогдаf(z)dz=
uk(z)dz.
Доказательство |f(z)dz-
uk(z)dz |=|
rn(z)dz |
| rn(z) | ds<e ▓L<en
3) Теорема
Вейерштрасса. Если uk(z)C(g)
и uk(z)=>f(z),
для
"z"
'
g,
(для любой замкнутой подобласти
области g) то:
1. f(z)C(g).
2. f(p)(z)=uk(p)(z),
для "z
g.
3. uk(p)(z)=>f(p)(z),
для
"z"'
g.
Доказательство
1. Рассмотрим " 'g
и
C-
замкнутый контур: С▓,
стягивающийся в точку z▓.
Т.к. uk(z)C(g)
и uk(z)
равномерно сходится к f(z) для
"z▓,
то f(z) непрерывна в ▓
(по свойству 1 *).
По свойству 2 *)f(z)dz=
uk(z)dz=(по теореме Коши *)=0=0.
Тем самым выполнены условия теоремы Морера *)
=> f(z)C
(▓).
=> в силу произвольности ▓
=> f(z)C(g).
Замечание. Т.к. rn(z)=f(z)-
Sn(z) => rn(z)C
(g).
2. Рассмотрим "'g
и
C-
замкнутый контур: С▓,
стягивающийся в точку z▓.
Т.к.
f(z)C(g),
то f(p)(z)=
.*)
=(т.к.uk(x
)|xC=>f(x
)|xC
=>
)=
= uk(p)(z).
Замечание. rn(p)(z)=f(p)(z)-Sn(p)(z)=uk(p)(z).
3. Рассмотрим "'g
и
C-
замкнутый контур, содержащий '
внутри, и такой, что
для"z▓
и "x
С выполнено неравенство |z-x|>d0.
Тогда rn(p)(z)=
.
|rn(x )|<e▓,
n> N(e▓) (т.к.
C граница замкнутой подобласти ''g).
|rn(p)(z)|
<e
для
"z▓
одновременно => uk(p)(z)=>f(p)(z),
для
"z"'
g.n
Замечание. Даже если uk(z)=>f(z)
при z,
то
все равно мы можем доказать равномерную сходимость ряда из производных
лишь
в любой замкнутой подобласти ▓области
g. Т.е.uk(p)(z)=>f(p)(z),
лишь для "z"'g.
Из равномерной сходимости ряда uk(z)=>f(z)
zне
следует! равномерная сходимость в этой области
ряда составленного из производных.!
Пример. Рядzk/k2
сходится равномерно в круге |z| 1,
а
ряд из производных zk-1/k
не
может равномерно сходится в круге
|z|1
, т.к. он расходится при z=1. Ряд zk-1/k
равномерно сходится при |z|<1.
II Теорема
Вейерштрасса.
Пусть uk(z)C()
и uk(x
)=>f(x ), для x╤g.
Тогда uk(z)=>f(z),
z.
Доказательство |Sn+m(x
)-Sn(x )| <e
для
"x╤g
=> |Sn+m(z)-Sn(z)| <eдля
"z
√ в силу принципа максимума. *)n
