13. Понятие аналитического продолжения.
п.1. Аналитическое продолжение через общую подобласть двух областей.
Пусть f₁(z)C(g₁) и g₁g₂=g₁₂и пусть f₂(z)C(g₂), причем f₂(z)f₁(z), zg₁₂. Тогда f₂(z) называется аналитическим продолжением f₁(z) на g₂ через общую подобласть g₁₂.
В силу теоремы единственности определенной аналитической функции *) если аналитическое продолжение $ , то оно- единственно. При этом в g=g₁g₂ $!  (единственная) аналитическая функция F(z)=C (g). F(z) называется аналитическим продолжением своего первоначального элемента f₁(z)C(g₁) на большую область g, для которой g₁g √ подобласть.
Осуществить аналитическое продолжение можно с помощью степенных рядов. Пусть f(z)C(g) и z₀g- правильная точка g, т.е. $ c_n(z-z₀)ⁿ  сходящийся к f(z) в общей части g и круга сходимости степенного ряда |z-z₀| <r (z₀). Если r (z₀) больше расстояния от точки z₀ до, то круг сходимости выйдет за пределы g, и мы получим F(z)- аналитическое продолжение f(z)C(g) на большую область g|z-z₀|<r (z₀).
п.2. Важная теорема.
Теорема 13.1 На границе круга сходимости *) степенного ряда найдется хотя бы одна особая *) точка аналитической функции комплексной переменной, которая (функция) является суммой ряда внутри его круга сходимости |z-z₀|<R₀.
Доказательство (от противного). Предположим, что " x : |x -z₀|=R₀ являются правильными *) точками f(z)=c_n(z-z₀)ⁿ, f(z)C(|z-z₀| <R₀) т.е. для "x
$ r (x)>0: c_n(x)(z-x)ⁿ=f(z) в общей части |z-z₀| <R₀|x -z₀|<r (x).
Докажем, что r (x )>0 является непрерывной функцией x на C_R0 и даже
Липшиц- непрерывной: т.е. |r (x₁)-r(x₂)| |x ₁-x₂|.
Предположим противное. Пусть r (x₁)>r(x₂) и $ d>0 : r (x₁)>r(x₂)+|x₁-x₂|+d (*).

Это означает, что круг |z-x2|<r (x2) лежит внутри круга |z-x1|<r (x1). Но в общей части трех кругов |z-z0|<R0|z-x1|<r(x1)|z-x2|<r(x2) все три степенных ряда сходятся к одной и той же f(z)C (|z-z0|<R0)  =>степенной рядcn(x2)(z-x2)n может быть продолжен на большую область, т.е. он сходится в круге

радиуса r (x₂), который не меньше чем расстояние от x₂ до границы круга |z-x₁|<r (x₁) => r (x₂)r (x₁)-|x₁-x₂|, но тогда из (*) =>r (x₁)>r (x₁)+d и т.к. d>0 мы пришли к абсурдному заключению. Но это противоречие явилось следствием нашего предположения о том, что r (x ) не является Липшиц- непрерывной *) на C_R0. Итак: |r (x₁)-r (x₂)| |x ₁-x₂|.
Из Липшиц- непрерывности => простая непрерывность. А т.к. непрерывная функция r (x )>0 на замкнутом множестве |x -z₀|=R₀ достигает своей нижней грани, т.е. $x^* :
r (x )r (x^*) для "xC_R0. Но по предположению для "xC_R0 r (x )>0 =>r (x^*)=r₀>0. Из того, что r (x )r₀ следует, что функция f(z)=c_n(z-z₀)ⁿ  при | z-z₀|<R₀ может быть аналитически продолжена в круг |z-z₀|<R₀+r₀, а следовательно, радиус сходимости исходного степенного ряда не R₀, а R₀+r₀. Но это противоречит условиям теоремы.
К этому противоречию мы пришли, предположив, что все точки xC_R0- правильные. => На C_R0 имеется хотя бы одна точка x^**, являющаяся особой, т.е. r (x^**)=0. n
Следствие. Радиус круга сходимости определяется расстоянием от центра сходимости до ближайшей особой точки той аналитической функции, к которой сходится данный ряд.
Примеры.
1. (-1)ⁿz²ⁿ=(-z²)ⁿ=1/(1+z²); |z|<1.
Особые точки суммы ряда очевидно z_1,2=╠ i. Отсюда понятно, почему разложение функции f(x)= 1/(1+x²) в степенной ряд в окрестности точки x=0 абсолютно сходится только при -1<x<1, условно сходится при |x|=1 и расходится при |x|>1, хотя эта функция при " x обладает непрерывными и ограниченными производными " порядка.
2.    Степенной ряд, сумма которого имеет счетное, всюду плотное множество особых точек на границе своего круга сходимости.
- сходится при |z|<1 (по формуле Коши- Адамара *).
При z=1 ряд расходится. Рассмотрим точки , |z_k,m|=1; k-фиксировано, m=0,1,2....; m=0, z_k,0=1; m=2^k , =1, при m=1,... ,2^k-1 точки делят окружность единичного радиуса на 2^k частей.

и при n k =1=> в этих точках ряд расходится.
При k точки z_k,m всюду плотно расположены на единичной окружности
Таким образом,  сумма ряда имеет счетное, всюду плотное множество особых точек на границе единичного круга => Эту аналитическую функцию нельзя аналитически продолжить за границу единичного круга !!. (Т.к. в " z: |z|<1 радиус круга сходимости степенного ряда будет не больше расстояния до границы единичного круга. По следствию к теореме 13.1 *)

п.3. Аналитическое продолжение через общий участок границы двух областей.
Теорема 13.2
Пусть f_i(z)C(g_i), i=1,2 и f_i(z)C(g_i+G ) и f₁|G = f₂|G . Тогда F(z)=C(g=g₁+g₂+G ).
Доказательство. Достаточно показать, что " z₀Gявляется правильной точкой F(z) (кроме может быть концевых точек G ). Возьмем " z₀G и построим
C=C₁(g₁)+C₂(g₂); Cg- кусочно- гладкие. Рассмотрим интеграл типа Коши *)

F (z)=C(g'g). Поскольку при zC F (z) непрерывна на C, то z0- правильная точка F (z).  Пусть z1g'1. Тогда F (z1)=+ +. Второе слагаемое равно 0 т.к. z1g'1. => F (z1)=F(z1).

  Аналогично получим, что при z₂g'₂  F (z₂)=F(z₂). По непрерывности получим, что F(z₀)=F (z₀) => z₀G является правильной точкой F(z). n

14. Аналитическое продолжение с действительной оси.
Элементарные функции комплексной переменной.
Пусть отрезок [a,b] области g  комплексной плоскости z. Тогда в силу теоремы единственности определенной аналитической функции *) в g может $ !  функция
f(z)C(g), принимающая заданные значения f(x) на x[a,b]. Если такая f(z) $ , то она называется аналитическим продолжением в комплексную плоскость функции действительной переменной, заданной на действительной оси. f(x)- вообще говоря, комплексная функция действительной переменной. Причем в силу свойств аналитической функции f(x) должна быть бесконечно дифференцируема по x !!.

Элементарные функции действительной переменной.
sin x= ; cos x=; e^x=;

Целые функции *), , - единственные аналитические продолжения sin x, cos x, e^x на всю комплексную плоскость z. Естественно сохранить для них старые обозначения. Прямой проверкой проверяется формула Эйлера:
e^iz=cos z+ isin z. Однако, это, с одной стороны требует нудных преобразований и обоснования возможности перестановки членов абсолютно сходящихся рядов, а с другой стороны, является следствием общего положения и возможности аналитического продолжения не только функций, но и аналитических соотношений.