Пусть w=f(z)

0

1

0

1

0

При отображении w= f(z)

0

a =arg f'(z₀)= argD w-argD z=F ₁-j₁.
Геометрический смысл arg f▓(z₀): Разность угла F ₁ (угол между касательной к кривой G ₁ и положительным направлением оси u на плоскости w) и угла j₁ (угол между касательной к кривой g₁ и положительным направлением оси x на плоскости z)
=> F₁=j₁+a . Другими словами, аргумент производной arg f'(z₀) в точке z₀ определяет величину угла, на который нужно повернуть касательную к " гладкой кривой g , проходящей через точку z₀, чтобы получить касательную к образу этой кривой в точке w₀=f(z₀).
Т.к. a =arg f'(z₀) не зависит от выбора g₁, то для " g₂ : z₀g ₂ : F ₂=j₂+a =>
=>F =F ₂-F₁=j₂-j₁=j (сохраняется величина и направление углов).
b) Свойство сохранения углов.
Определение Отображение окрестности точки z₀ на окрестность точки w₀, обладающее свойствами сохранения углов и постоянства растяжений называется конформным отображением в точке z₀.
=> бесконечно малая окружность бесконечно малую окружность; бесконечно малый треугольник бесконечно малый треугольник.
Основное определение. Непрерывное взаимно однозначное отображение области g комплексной плоскости z на область D комплексной плоскости w, при котором в " zО g выполняются свойства сохранения углов и постоянства растяжений, называется конформным отображением g на D.
Обозначение: gD.
Очевидно, что при этом D конформно отображается на g.
Теорема 20.1Если f(z)C (g), однозначная и однолистная, и f▓(z)0, " zg, то f(z) осуществляет конформное отображение gD.
Доказательство. Отображение, осуществляемое указанной f(z) обладает свойствами сохранения углов и постоянства растяжений (как было показано выше). n
Теорема 20.2(обратная) Если f(z) осуществляет конформное отображение gD, то f(z)C(g), однолистна, и f▓(z)0, " zg.
Доказательство. Т.к. gD, то f(z)- непрерывна, однозначна и однолистна.
Т.к. имеет место постоянство растяжений, то $|D w|/|D z|=k>0.
Т.к. имеет место сохранение углов, то $arg(D w/D z)=a -действительное =>
$D w/D z=ke^ia0 n .
Замечание. Свойство f▓(z)0, " zg является следствием однолистности.
Теорема 20.3.Необходимым и достаточным условием конформности отображения является f(z)C(g), однозначна и однолистна в g.
Доказательство. Необходимость доказана выше (Теорема 20.2*).
Достаточность. См. "А.Г.Свешников, А.Н.Тихонов Теория функций комплексной переменной." М.: Наука-Физматлит 1999, с.156.
п.3. Основные принципы конформных отображений.
Принцип соответствия границ. Если f(z)C(), g-односвязна и f(x ) взаимно однозначно отображает  на замкнутый контур G =D плоскости w с сохранением обхода, то gD.
Доказательство. Надо доказать, что f(z) однолистна в g, т.е.
а) для " w₁D $ ! z₁g : w₁=f(z₁);
б) для " w₂D не $ ни одной z₂ g: f(z₂)=w₂.
Рассмотрим две произвольные точки w₁D и w₂D и построим в g вспомогательные функции F₁(z)=f(z)-w₁, F₂(z)=f(z)-w₂ ,zg. Подсчитаем число нулей этих функций (по принципу аргумента *):
N[F₁(z)]=(1/2p )Var[arg(f-w₁)]|=1, N[F₂(z)]=(1/2p )Var[arg(f-w₂)]|=0 (т.к. по условию теоремы положительному обходу  соответствует положительный обход D) . n
Замечание. Если f(z)C(\z₀), z₀- полюс первого порядка и G с изменением направления обхода, то f(z): gE\D.
2. Теорема Римана. Основной закон конформных отображений.
Заданы область g комплексной плоскости g и область D комплексной плоскости w. Требуется найти f(z)=w конформно отображающую g на D.
Теорема Римана. Если g- односвязная область комплексной плоскости w, граница которой состоит более чем из одной точки, то $! f(z)C(g): g|w|<1, так что f(z₀)=0 и arg f'(z₀)=a , z₀g и a - заданные числа.
Полное доказательство приводить не будем. (см. например А.В.Бицадзе "Основы теории аналитических функций").
Ограничимся замечаниями.
1.    Пусть g комплексной плоскости z и G комплексной плоскости w удовлетворяют условиям теоремы Римана *). Тогда
$x =f(z): g|x |<1; f(z₀)=x ₀ и $ w=j (x ): |x |<1D, j (x ₀)= w₀ => $ w=F(z)= j (f(z)); gD; F(z₀)=w₀ .
2.    Односвязность существенна!.
3.    Условия теоремы Римана можно заменить установлением соответствия 3-х точек  трем точкам D.
П.4. Основные элементарные функции, используемые при конформных отображениях.
a)    Степенная w=f(z)=zⁿ, область однолистности 0<arg z<2p/n.
b)    w=f(z)=1/z область однолистности- вся комплексная плоскость. zw
c)    w=f(z)=e^z область однолистности -p <Im z<p .
d) Дробно-линейная функция.
w=f(z)=(az+b)/(cz+d)=l (z+a )/(z+b ) (3 параметра, a╧b ).
z=l '(w+a ')/(w+b '); zw, f'(z)0 для " z.
1.    Геометрический смысл: f(z)=l [1+(a -b )/(z+b )] - повороты и растяжения, отражение от действительной оси, инверсия.
2.    Заданием соответствия 3-м точкам z₁w₁, z₂ w₂, z₃w₃, плоскости z трех точек плоскости w, дробно-линейная функция определена однозначно, т.е. коэффициенты l , a , b однозначно выражаются через 6 заданных комплексных чисел.
Доказательство. w₁=l (z₁+a )/(z₁+b ); w₂=l (z₂+a )/(z₂+b ); w₃=l (z₃+a )/(z₃+b ); =>w₁-w₂=l (z₂-z₁)(a -b )/(z₁+b )(z₂+b ) ; w₁-w₃=l (z₃-z₁)(a -b )/(z₁+b )(z₃+b ) ; (w₁-w₂)/(w₁-w₃)=(z₁-z₂)(z₃+b )/(z₁-z₃)(z₂+b ); (w-w₂)/(w-w₃)=(z-z₂)(z₃+b )/(z-z₃)(z₂+b );
(w-w₂)/(w-w₃): (w₁-w₂)/(w₁-w₃)= (z-z₂)/ (z-z₃): (z₁-z₂)/ (z₁-z₃).
Разрешив это выражение получим w=f(z) - дробно-линейную функцию с однозначно определенными коэффициентами l , a , b . n
3.    Свойства дробно-линейной функции.
a)    Круговое: A(x²+y²)+Bx+Cy+D=0; z=x+iy=1/z =1/(x +ih )=x /(x²+h²)-ih /(x²+h²)=>
=>A+Bx -Ch +D(x²+h²)=0. Окружность на плоскости однозначно определяется заданием 3-х точек.=> Задав z_iw_i, i=1,2,3 с сохранением направления обхода однозначно определим дробно-линейную функцию, конформно отображающую gD.
Пример. |z|<1Imz>0. так, чтобы z=1w=0; z=iw=1; z=-1w= ;
Возьмем w=l (z-1)/(z+1); 1=l (i-1)/(i+1)=> l =(i+1)/(i-1)= (i+1)(1+i)/(i-1)(1+i)=-(1+i)²/2=
=-(1+2i-1)/2=-i; => w=i(1-z)/(1+z).
b)     Сохранение сопряженности точек.
Пример. Imz>0|w|<1; z₀ w₀=0; => w=l (z-z₀)/(z- z₀^*);
e) Функция Жуковского.
w=f(z)=(1/2)(z+1/z)-однозначная аналитическая функция в кольце 0<|z|< ;
Два полюса 1-го порядка: z=0 и z= .
Области однолистности: z₁z₂ и z₁+1/z₁= z₂+1/z₂ =>(z₁-z₂)=(z₁-z₂)/z₁z₂ => z₁z₂=1 =>
Области однолистности |z|<1 и |z|>1.
f'(z)=(1/2)(1-1/z²); f'(z_1,2)=0 => z_1,2=1.
Геометрический смысл отображения.
|z|>1; z=r₀e^ij ; w=(1/2)(r₀e^ij+(1/r₀)e^-ij); w=u+iv=(1/2)(r₀+1/r₀)cosj +i(1/2)(r₀-1/r₀)sinj ;
u²/[(1/2)(r₀+1/r₀)]²+v²/[(1/2)(r₀-1/r₀)]²=1; a=(1/2)(r₀+1/r₀); b=(1/2)(r₀-1/r₀);
c²=a²-b²=1; => c=1;
Окружность r₀e^ijсемейство софокусных эллипсов. При r₀1  a1, b0.
|z|>1w, с разрезом по отрезку [-1;1].
Луч z=re^ij; 1<r< ; j =j_{0 .}
u=(1/2)(r+1/r)cosj _; v=(1/2)(r-1/r)sinj ; => u²/cos^2j - v²/sin^2j=1; - гипербола:
c²=a²+b²=1; => c=1; 0<j ₀<p /2- правая ветвь гиперболы, p /2<j₀<p - левая  ветвь гиперболы. Полярная система координат |z|>1 переходит в эллиптическую систему координат на плоскости w, с разрезом с сохранением направления обхода. На плоскости w с разрезом определена обратная функция , являющаяся аналитическим продолжением действительной функции , u>1.
Аналогично, область однолистности |z|<1на плоскость w с разрезом по

[-1;1] с изменением направления обхода. На этой плоскости определена обратная функция , являющаяся аналитическим продолжением действительной функции , u>1.
Итак, функция Жуковского осуществляет конформное отображение полной плоскости z на двулистную Риманову поверхность w, склеенную из двух плоскостей w с разрезом по [-1;1]. Конформность отображения нарушается в точках z_1,2=1, где f'(z_1,2)=0; z_1,2=1╚ w_1,2=1. Обратная функция (обе ветви) имеет две точки ветвления w=╠ 1- концы берегов разреза.

Примеры конформных отображений, осуществляемых некоторыми элементарными функциями.