4

Лекция 13.

Линейность изображений.
Примеры 1) Полином.
2) sin w t=(1/2i)(e^iw
t-e^{-iw t})

(1/2i)[1/(p-iw )-1/(p+iw )]= w /(p²+w²);
5. Теорема запаздывания.
f(t)

A(a); f(t)

F(p); f_t (t)={0, t<t ; f(t-t ) t>t ;f_t (t)

A(a); f_t (t)

e^-ptf(t-t )dt=
={t-t =t'}=e^-pte^-pt'f(t')dt'=e^-ptF(p).
Пример. Изображение прямоугольного импульса.
f(t)={0, t<t₁ ; 1, t₂<t<t₁; 0, t>t₂;} F(p)=(1/p)( e^-pt
1- e^{-pt 2});
Пилообразный импульс- самостоятельно.
6. Изображение производной. Пусть f(t)

C[0;

] и имеет конечную производную f'(t), причем и f(t) и f'(t)

A(a). Пусть f(t)

F(p). Найдем f'(t)

?.
f'(t)

e^-ptf'(t)dt=(по частям)=-f(0)+p

e^-ptf(t)dt=(Rep>a)=pF(p)-f(0)=p[F(p)-f(0)/p];
Аналогично, если f(t)

C^(n-1)[0;

] и f⁽ⁿ⁾(t)- кусочно- непрерывна, и f^(k)(t)

A(a), k=0,1...n; то f⁽ⁿ⁾(t)

pⁿ[F(p)-f(0)/p-f'(0)/p²-...-f^(n-1)(0)/pⁿ];
7. Изображение интеграла.
f(t)

A(a); j (t)=

f(t )dt О A(a); j (t)

e^-ptf(t )dt dt=(Rep>a)=

e^-pt f(t ) dtdt= =(1/p)

e^-ptf(t )dt =(1/p)F(p);
Можно обобщить на случай n- кратного интеграла

(1/pⁿ)F(p)
8. Изображение свертки.
f₁(t)

A(a₁), f₂(t)

A(a₂), j (t)=

f₁(t )f₂(t-t )dt =

f₁(t-t )f₂(t )dt

A(a), a=max(a₁,a₂);
j (t)

e^-ptf₁(t )f₂(t-t )dt dt=(Rep>a)=

f₁(t )

e^-ptf₂(t-t )dt dt=(t-t =t') =
=

f₁(t )e^-pte^-pt'f₂(t')dt dt'=F₁(p)F₂(p).
п.3. Решение задачи Коши для линейного обыкновенного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами операционным методом.
{a₀y⁽ⁿ⁾(t)+...+a_ny(t)=f(t), t>0; y(0)=...=y^(n-1)(0)=0; f(t)

F(p); y(t)

Y(p); =>

=> P_n(p)Y(p)=F(p) => Y(p)=F(p)/P_n(p). Надо найти оригинал по изображению. В нашем случае можно поступить проще.
Рассмотрим следующую задачу:
{a₀g⁽ⁿ⁾(t)+...+a_ng(t)=0, t>0; g(0)=...=g^(n-2)(0)=0; g^(n-1)(0)=1; g(t)G(p);
Допустим, мы знаем ее решение. g^(k)(t)p^kG(p), k=0,1,...n-1.; g⁽ⁿ⁾(t)pⁿ[G(p)-g^(n-1)(0)/pⁿ]=pⁿG(p)-1; => P_n(p)G(p)= a₀ => G(p)= a₀/P_n(p); Y(p)=F(p)/P_n(p)= (1/a₀) G(p) F(p); => y(t)(1/a₀)G(p)F(p)=>y(t)=(1/a₀)g(t-t )f(t )dt - Интеграл Дюгамеля.

п.4. Теорема Меллина.
Пусть F(p)C (Re p>a) и
1)    |F(p)|=>0 при |p| , Re p>a относительно аргумента.
2) " x>a: |F(p)|dy<M (равномерно ограничен по x).
Тогда $ f(t)A(a): f(t)F(p) и f(t)=(1/2p i)e^ptF(p)dp, для " x>a.
Замечание. Несобственный интеграл (1/2p i)e^ptF(p)dp вычисляется вдоль прямой
Re p=x>a и понимается в смысле главного значения: e^ptF(p)dp=e^ptF(p)dp.
Доказательство.   Рассмотрим I(x,t)=(1/2p i)e^ptF(p)dp (p=x+iy) и докажем:
1.    I(x,t) $ для " x>a;

|I(x,t)| (1/2p )e^xt|F(p)|dyM' e^xt=>I(x,t) $ для " x>a;
Замечание: на "[0,T] интеграл сходится равномерно по t.
2.    Доказательство. Т.к. F(p)C(Re p>a), то по теореме Коши *) e^ptF(p)dp=0; Устремим
А, тогда по условию 1. теоремы (|F(p)|=>0 при |p| , Re p>a) интегралы по горизонтальным отрезкам дадут в пределе 0.

Интегралы по вертикальным прямым перейдут в в несобственные интегралы => =>e^ptF(p)dp=e^ptF(p)dp, что в силу произвольности x₁ и x₂ доказывает утверждение.

3.   Докажем, что I(x,t)0, t<0.
Рассмотрим I(x,t) при t<0. По теореме Коши *)
e^ptF(p)dp=0. В силу замечания 2. к Лемме Жордана *) при R интеграл по дуге С'_R0 при t<0. Поэтому f(t)=(1/2p i)e^ptF(p)dp 0, при t<0, Re p>a и " x>a.
Итак, $ f(t)=(1/2p i)e^ptF(p)dp, для " x>a.

Из оценки интеграла => |f(t)|<Me^xt, и inf(x)=a =>f(t)A(a).
4.    Покажем, что f(t)F(p).
f(t)e^-pt(1/2p i)e^qtF(q)dqdt={a<Req=x<Rep}= (1/2p i)F(q)e^-(p-q)tdqdt= =(1/2p i)F(q)/(p-q)dq=(интеграл можно вычислить с помощью вычетов, учитывая, что контур обходится по часовой стрелке)=-Выч[F(q)/(p-q),q=p]=F(p)n
Замечание. Если $ аналитическое продолжение F(p) в левую полуплоскость, имеющее конечное число N изолированных особых точек p_n и удовлетворяющее условиям Леммы Жордана *), то f(t)=Выч[e^ptF(p),p_n], t0.
В частности, если F(p)=1/P_n(p), где все нули полинома P_n(p) лежат в левой полуплоскости Re p <a, то вычисление f(t) не представляет трудностей.
Пример. Решить задачу Коши: y"+w₀²y=f(t); y(0)=y'(0)=0;
Y(p)=F(p)/(p²+w ₀²); и трудности могут возникнуть при достаточно сложной F(p).
Но мы знаем, что y(t)=(1/a₀)g(t-t )f(t )dt *). А т.к. G(p)= a₀/P_n(p), и a₀=1, и P_n(p)=p²+w₀², тоG(p)=1/(p²+w₀²). => g(t)=(1/2p i)e^pt/(p²+w₀²)dp=
=Выч[e^pt/(p²+w₀²), iw ₀]+ Выч[e^pt/(p²+w ₀²),-iw₀]= e^{iw 0t}/(2iw₀)-e^-iw
0t/(2iw₀)=sin(w₀t)/w₀=> y(t)=(1/w₀)sin(w₀(t-t ))f(t )dt и в частности при f(t)= sin(w ₀t): y(t)=
=(1/w₀)sinw₀(t-t )sin(w_0t)dt =(1/2w ₀²)[sin(w₀t)-tw₀cos(w₀t)]- осциллирующая функция с линейно нарастающей амплитудой- резонанс.
п.5. Изображение произведения.
Пусть f₁(t)A(a₁): f₁(t)F₁(p)C(Re p>a₁); f₂(t)A(a₂): f₂(t)F₂(p)C(Re p>a₂).
f(t)=f₁(t)f₂(t)A(a₁+a₂); -удовлетворяет всем условиям существования изображения.

f(t)F(p)=e^-ptf₁(t)f₂(t)dt={f₁(t)=(1/2p i)e^ptF₁(p)dp, для " x>a₁}=
=(1/2p i)e^-ptf₂(t)e^qtF₁(q)dqdt=(1/2p i)F₁(q)e^-(p-q)tf₂(t)dtdq=
=(1/2p i)F₁(q)F₂(p-q)dq; (a₁<x=Re q<Re p- a₂)=(1/2p i)F₁(p-q)F₂(q)dq;
(a₂<x=Re q<Re p- a₁) ; F(p)C(Re p>a₁+a₂)
Пример. f₁(t)=t1/p²; f₂(t)=sinw tw /(p²+w ²);
f(t)=f₁(t)f₂(t)=tsinw t(w /2p i)dq/[(p-q)²(q²+w²)] ; 0<x=Re q<Re p={при помощи вычетов, с учетом того, что контур интегрирования замыкается вправо и обходится по часовой стрелке- в отрицательном направлении}= -w Выч[1/[(p-q)²(q²+w²)],q=p]
{q=p- полюс 2-го порядка *}=-w d/dq[1/(q²+w²),q=p] =2w p/(p²+w²);
Замечание. Можно считать контур интегрирования замкнутым налево и суммировать вычеты в iw ;