Лекция 1.

§3. Непрерывность функции комплексной переменной.

1. Понятие предела функции комплексной переменной (по Гейне и по Коши).
2. Непрерывность функции комплексной переменной в точке, в области и на кривой.

Лекция 2.

3. Равномерная непрерывность в ограниченной замкнутой области (Теорема).


1. Понятие предела (предельного значения) функции комплексной переменной в точке z0Оg.
Определение 1. (по Гейне)Комплексное число w0 называется пределомf(z), zО g, в точке z0Оg, если для " {zn} z0 соответствующая последовательность {f(zn)}w0.
Замечание. Предполагается, что z0 является точкой сгущения (предельной точкой множества g.
Определение.Точка z0О g называется точкой сгущения (предельной точкой) множества g, если в " e - окрестности точки z0 содержатся точки множества g, отличные от z0.
Определение 2. (по Коши)Комплексное число w0 называется пределомf(z), zО g, в точке z0Оg, если для "e >0 $d (e ,z0)>0 : | f(z)-w0 |<e , как только 0<| z-z0|<d
Обозначение: f(z)= w0.
Замечание. Это определение имеет смысл лишь при конечных значениях z0 и w0 в отличие от определения предела по Гейне .
Определения по Гейне и по Коши эквивалентны, что легко доказать самим.
Доказательство.
1) 2 1 (Коши Гейне). Пусть f(z) удовлетворяет 2. Возьмем "e >0 и выберем соответствующее d (e )>0. Рассмотрим произвольную последовательность {zn} z0 и найдем N[d (e )]=N(e ): для " n N(e ) 0<|zn-z0|<d . Тогда по условию 2. 0<|f(zn)-w0|<e для " n N(e). А т.к. e >0- любое и {zn}z0-произвольная, то это значит, что {f(zn)}w0, т.е. выполнено 1.
2) 1 2 (Гейне Коши). Предположим противное: пусть верно1, а 2- неверно.
Это значит, что $e0>0, что "d n>0 $ znОg, что при 0<|zn-z0 |<dn , будет выполнено |f(z)-w0|>e0. Выберем {dn} 0 и соответствующую ей последовательность {zn}, удовлетворяющую предыдущим неравенствам. Тогда получим, что $ {zn} z0, а {f(zn)}не  w0. Т.е. 1.- неверно. Получили противоречие. Сделанное предположение неверно. Т.е. из 1 2. n

2. Непрерывность функции.
Определение непрерывности f(z) в точке z0. Функция комплексной переменной f(z), zО g, называется непрерывной в точке z0О g, если $ ограниченный предел :
f(z)= w0 и w0= f(z0), т.е. f(z)= f(z0).
Очевидно, при этом достаточно малая d - окрестность точки z0 отображается f(z) на достаточно малую e - окрестность точки w0= f(z0).
Определение непрерывности функции в точке в терминах e -d .Функция комплексной переменной f(z), zО g, называется непрерывной в точке z0О g, если
" e >0 $d (e ,z0)>0 : для " z : |z-z0|<d ; |f(z)-f(z0)| <e .
Замечание 1. Это определение распространяется как на внутренние , так и на граничные точки множества.
Определение.Точка z0 называется изолированной точкой множества g, если в $ такая ее e -окрестность, в которой нет других точек множества g.
Замечание 2. По определению функция считается непрерывной в изолированной точке z0О g.
Замечание 3. Понятие непрерывности функции f(z), zО g, в точке z0О g справедливо и в случае бесконечно удаленной точки z0=.
При этом под пределом функции f(z) при z по Гейне надо понимать предел последовательности {f(zn)}, где {zn}- " неограниченно возрастающая последовательность .
В e -d определении непрерывности функции f(z) при z условие ╫ z-z0╫<d надо заменить на условие |z| >R.
Примеры: а) функции w=az+b, w=z*, w=const, w=Re z, w=zn, w=|z| - являются непрерывными на всей комплексной плоскости.
б) функция w=arg(z) является непрерывной нам всей комплексной плоскости, за исключением точек z=0, z= , и точек, лежащей на положительной части действительной полуоси.
Основное определение.Функция комплексной переменной f(z), zО g, называется непрерывной в области g, если она непрерывна в " zО g.
Обозначение: f(z)О C(g).
Аналогично определяются понятия f(z)О C(), и f(z)О C(). При этом при определении непрерывности по Гейне в zОили zО надо рассматривать последовательности {zn}, состоящие только из точек znОили znО.
Замечание 4. В случае понятия непрерывности по Коши для f(z)О C(g) для заданного e d зависит от (e ,z) (d =d (e ,z)), т.е. на e - окрестность " точки w=f(z)О D отображается d -окрестность соответствующей точки z, где d для различных z- различна. Более тонкое понятие равномерной непрерывности в g.

3. Равномерная непрерывность в ограниченной замкнутой области

Определение.Функция комплексной переменной f(z), z g, называется равномерно непрерывной в g, если для "e>0 $d (e )>0 (зависящее только от e) : такое, что для
"z1, z2 g : | z1-z2 |<d ; | f(z1)-f(z2)| <e .
Любые d - близкие точки области g отображаются на соответствующие e-близкие точки области D.
Очевидно, что из равномерной непрерывности в g следует f(z)?С(g).
Обратное, вообще говоря, не всегда верно.
Определение.Множество g называется ограниченным, если оно целиком содержится в некотором круге (т.е. $R>0 и z0 : g {z: |z-z0|<R}).

Если компактное множество не содержит бесконечно удаленной точки , то оно ограничено .

Теорема 3.1. Если f(z)C() и  ограничена то f(z) - равномерно непрерывна в .
Доказательство. (от противного)  Пусть для заданного e0 и для "dn>0 найдутся хотя бы две точки такие, что |z1(n)-z2(n)|<dn, а |f(z1(n))-f(z2(n))|>e0. Устремив dn0, получим последовательности {z1(n)} и {z2(n)}, удовлетворяющие данным неравенствам. Т.к. {z1(n)} ограничена по условию, то из нее можно извлечь {z1(nk)} z1. При этом {z2(nk)}- ограничена и из нее можно извлечь {z2(nl)} z2. Т.к. {z1(nl)} z1, а dn0, то z1=z2, и в силу сделанного предположения  |f(z1)-f(z2)|>e0, что противоречит условию непрерывности f(z) в C(). n

Функцию комплексной переменной f(z) можно представить в виде f(z)=u(x,y)+iv(x,y), где u(x,y) и v(x,y)- действительные функции действительных переменных. Тогда справедлива
Теорема. Необходимым и достаточным условием непрерывности  f(z) в g ( f(z) C(g) ) является требование, чтобы u(x,y) и v(x,y) были непрерывны в области g плоскости (x,y) по совокупности переменных.
Данное утверждение является следствием того, что необходимым и достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел является сходимость последовательностей их действительных и мнимых частей.

Назад       Вверх       Вперед

Hosted by uCoz