Лекция 4.

§ 7. Интегральная формула Коши. Интеграл Коши.

1. Интегральная формула Коши.
2. Следствия: а) Формула среднего значения, б) Принцип максимума модуля.


1. Интегральная формула Коши.

Пусть f(z) C (). Выразим f(z0)  z0  g через значения f(z) на . Рассмотрим
j(z)= C (/z0). Поэтому, если в области g взять такой замкнутый контур g , чтобы точка z0 попала внутрь ограниченной им области, то j (z) будет аналитической в двухсвязной области g*, заключенной между  и g . По теореме Коши для многосвязной области. интеграл от функции j(z) по кривой +g равен 0: . Т.к. , то . Поскольку интеграл, стоящий слева не зависит от выбора контура, то эти свойством обладает и интеграл, стоящий справа. Удобно в качестве контура интегрирования выбрать окружность gr с центром в точке z0 и радиуса r . Положив на g r x = z0+r eij,
dx = ir eijdj , получим f(x )dj =i[f(x )-f(z0)]dj + if(z0)dj =I+2p f(z0).
Оценим I. | I |2p|f(x )-f(z0)|. Устремим r 0 при этом. x (r ) z0.Т.к. f(z)- аналитическая, а следовательно непрерывная в g, то для "e >0 $ d (e )>0 такое, что
|f(x )-f(z0)|< e, как только |x (r )-z0|<d. А это значит, что при r 0   I0. Поскольку левая часть и второе слагаемое правой части не зависят от r , то переходя к пределу в обоих частях, получиминтегральную формулу Коши: f(z0)=.
Замечания.
1.    Формула верна как для g односвязной, так и g- многосвязной, только в последнем случае +- полная граница области, проходимая в положительном направлении. 
2.  Интеграл вида I(z0)= имеет смысл для " положения точки z0 на комплексной плоскости при условии, что z0. Если z0  g, то I(z0)=f(z0), если z0g, то I(z0)=0, поскольку в этом случае подынтегральная 
функция j (x )= C(g) является аналитической всюду в g. При z0  I(z0) в обычном смысле не $ , однако, при дополнительных требованиях на поведение функции f(x ) на контуре границы этому интегралу может быть придан определенный смысл. Так, если f(x ) удовлетворяет на условию Гельдера: |f(x 1)-f(x2)|<C|x1-x2|d ,
0<d <1 (Гельдер- непрерывна), то $главное значение по Коши интеграла I(z0):
V.p.I(z0)=, где ge представляет собой часть контура , лежащую вне круга |x -z0|<e . При этом V.p.I(z0)=1/2 f(z0). Окончательно для f(z)О C (g ) можно записать:
3.    Формула верна и для " контура C+ g, который можно стянуть к z0, оставаясь внутри g.

Следствия интегральной формулы Коши.

Пусть f(z)О C (g ).



B>2. Следствия: а) Формула среднего значения, б) Принцип максимума модуля.

1 Формула среднего значения. Пусть z0- некоторая внутренняя точка односвязной области g. Возьмем окружность с центром в z0 и радиусом R, целиком лежащую в g. Тогда f (z0)== (x = z0+R eij)=f(z0+Reij)dj = f(x )ds ,
(ds=Rdj, круг KRg)- формула среднего значения.

2. Принцип максимума модуля.Если f(z) C () и f(z)const, то |f(z)| достигает своего максимального значения только на .
Доказательство (от противного). Пусть $ z0g: |f(z0)|=M  |f(z)|, для " z
. M= M => =M.
(C0-окружность |z-z0|=R0, C0 g; x = z0+R0eij, ds=R0dj )=>|f(x )|=M (для " x C0). Действительно, |f(x )|  M для  " x C0 по предположению. Далее, пусть в некоторой  точке x0 C0 выполнено |f(x0)|<M. Тогда, т.к. |f(x )| непрерывен на C0 , то $ дуга g0
длины L0 -некоторая окрестность точки x0 (x0g0), на которой |f(x )| M-e , e >0 (а на остальной части окружности |f(x )| =M для " x C0/g0). Тогда

(M-e )L0/2pR0+M(2pR0-L0)/2pR0=M-e L0/2pR0<M => M<M. Чего быть не может. => |f(x )|=M (для "xC0) => |f(x )|=M (xC': |z-z0|=R'<R0) => |f(x )|=M (xK0 : |z-z0| R0) => |f(z*)|=M для " z*g.
Покажем это. Соединим точки z0 и z* кривой L g и отстоящей от  на расстояние не меньше чем на d>0. Возьмем z1= C0L. Т.к. |f(z1)|=M, то |f(x )|=M (x K1 : 
|z-z1| R1,   R1 d). Далее возьмем z2= C1L и, продолжая данный процесс, за конечное число шагов получим, что
|f(x )|=M (x Kn : |z-zn| Rn) и z*Kn. Итак, если |f(z)| принимает максимальное значение M в некоторой внутренней точке области, то |f(z)|M во всей области.
Из условий Коши-Римана для модуля и аргумента аналитической функции (f(z)=R(x,y)eiF (x,y) :Rx=RFy, Ry=-RF x)=> f(z)const " z g. Получили противоречие c условием теоремы. Доказали, что если |f(z)| const, то он не может достигать max во внутренних точках области. Но т.к. |f(z)| непрерывен в , то он должен достигать max. в некоторой z => |f(z)|  достигает max. в граничных точках.n

Замечания.
1.    Если f(z) C () и f(z) 0  для " z, то имеет место принцип минимума модуля. Для доказательства достаточно рассмотреть функцию j (z)=1/f(z) и воспользоваться принципом максимума модуля .
2.    Теорема верна как для односвязной, так и для многосвязной области.
3.    Геометрическая интерпретация.
Действительные функции двух действительных переменных u(x,y) и v(x,y)- вещественная и мнимая части аналитической функции  f(z) не имеют в g локальных экстремумов, а могут иметь лишь седловые точки. Линии равного уровня этих функций (если f const) не замкнуты, т.е. упираются в границу области g, либо уходят на бесконечность в случае неограниченной области. Внутри области  g нет точек, в которых эти функции возрастают или убывают по всем направлениям.

Важное обобщение.

Назад       Вверх       Вперед

Hosted by uCoz