Лекция 5.
- § 9. Интегралы, зависящие от
параметра.
- 1. Понятие интеграла, зависящего от
параметра. Достаточные условия существования.
- 2. Основная теорема
F(z)ОC
(g).
1. Понятие интеграла, зависящего от параметра.
Достаточные условия существования.
Пусть на комплексной плоскости Z
заданы: кусочно-гладкий контур C конечной длины 
ds=L, область g, и функция двух комплексных
переменных w=j (z,x ), z 
g, x C, удовлетворяющая следующим условиям:
1. Для " x0 C j(z,x0)=f(z) C (g),
т.е. $ 
j/
z(z,x0) C (g).
2. j(z,x )- непрерывна по
совокупности переменных. Т.е. "e>0 $d(e,
z,x)>0:
|j( z+D z,x+Dx)-j( z,x) |<e при |D z|,|Dx |<d .
3.
j / z(z,x ),┘, nj/ zn(z,x )-
также непрерывны по совокупности переменных.
Замечание. Из 2 следует, что j(z,x ) непрерывна по z в "z g
равномерно по x,т.е. для фиксированного z0
g и "e>0 $d(e,
z0)>0 такое, что |j( z0+D z,x)-j( z0,x) |<e
при |D z|<d для всех x C одновременно.
Доказательство. От
противного, аналогично доказательству равномерной непрерывности в замкнутой
области ( Теорема 3.1).
Аналогичное утверждение справедливо и для j/ z(z,x ).
2. Основная теорема F(z)ОC(g).
Теорема 9.1 Если j(z,x ), z g, x C удовлетворяет условиям 1-3, то интеграл, зависящий
от параметра z $ и является аналитической функцией z в
области g.
j(z,x )dx
=F(z) C (g) и F(n)(z)= nj/ zn(z,x )dx .
Доказательство.
Разобьем доказательство на 3 этапа:
1. Докажем, что F(z) C(g).
|D F|=|F(z+D z)-F(z)|=| [j (z+D z,x )-j (z,x
)]dx | 
L
|j(z+D z,x )-j (z,x
)|<
<( по замечанию к условию 2 ) < Le
'<e как только |D
z|<d(e) .
2. Докажем,
что $ 
=F'(z)= 
.
<
<( по замечанию к условию 2 ) < Le '<e как только |D z|<d(e) .
3. Докажем, что
F'(z) C(g). Доказательство аналогично
п.1.
Итак, F(z) C (g) и
F(n)(z)=
nj/ zn(z,x
)dx . n
