1. Если степенной ряд расходится в точке z2 № z0 , то он расходится и при " z: |z-z0|>|z2-z0 |. (Предполагая противное, получим, что по тереме Абеля ряд должен сходится в " круге радиуса r <|z-z0 |, в частности и в точке z 2 , что противоречит условию.).
2. Круг сходимости. Радиус сходимости. Рассмотрим s up|z1-z0 |=R для " z1 , где ряд сходится- точную верхнюю грань расстояний от точки z 0 до точек z 1 в которых сходится ряд
cn(z-z0)n . Если R
, то
для " z2: |z2-z0
|>R ряд расходится. R=inf|z 2-z0 |=R для" z2 , где ряд расходится. ПустьR>0, тогда наибольшей областью сходимости степенного ряда является круг |z-z 0|<R - круг сходимости степенного ряда, число R>0- радиус сходимости степенного ряда. Внутри круга сходимости ряд сходится, вне- расходится, в точках границы |z-z0 |=R может как сходиться, так и расходиться.
3.Формула Коши-Адамара. R=1/L, L=
Доказательство. Пусть 0<L<
. Имеем:1) Т.к. L=
, то для "
e>0$ N, что для "
n> N 
<L+ e .2) С другой стороны, для того же "e>0 $
много членов последовательности {}: >L- e .Надо доказать:
a) Для " z1: |z1-z0 |<R=1/L (или что то же самое L|z 1-z0 |<1) ряд сходится.
b) Для " z2: |z2-z0|>R=1/L (L|z1-z0 |>1) ряд расходится.
Докажем это.
a) Возьмем произвольную z 1: L|z1-z0 |<1 и выберем e =(1-L|z1-z0|)/2|z1-z0 |, тогда
L+ e =(1+L|z1-z0|)/2|z1-z0 |. Т.к. для " n>N:
<L+ e
=>|z1-z0|<(1-L|z1-z0|)/2=q<1.=>
|cn(z1-z0)n|<qn - ряд
сходится.b) Выберем e =(L|z2-z0|-1)/|z2-z0| => L- e =1/|z2-z0 |. Т.к. для
числа членов >L- e
=> |z2-z0|>1=>
|cn(z2-z0)n |>1- ряд расходится.
n Случай L=0 : "e>0$ N, что для " n>N
< e . Положим для "
z и 0<q<1 e =q/|z-z0|
=>|z-z0|<q
=>|cn(z1-z0)n|<qn -
ряд сходится для " z, т.е R==1/0=1/L.Случай L=
: для " M
> 0$ много
членов {
}: >M. "e>0$ N, что для " n>N
< e . Положим
для " zz0 иq>1
M=q/|z-z0| => $ много
членов |z-z 0|>1
=>|cn(z1-z0)n |>1- ряд расходится для " zz0 , т.еR=0=1/ =1/L4. В " круге |z-z 0|
r <R степенной ряд сходится равномерно. => По теореме Вейерштрасса cn(z-z0)n=f(z)
C(|z-z0|<R).5. По теореме Вейерштрасса степенной ряд внутри круга сходимости можно дифференцировать и интегрировать почленно любое число раз. При этом радиус сходимости не меняется !
6.
cn(z-z0)n=f(z)=>
c0=f(z0), cn+1(n+1)(z-z0)n=f'(z)=>
c1=f'(z0)…cn+k(n+k)!(z-z0)n=f(k)(z)=>
ck=f(k)(z0)/k!7. Пример.
(z-z0)n : "
cn=1 => R=1.
Sn=[1-(z-z0)n+1]/[1-(z-z0)];
|z-z0 |<1 и 
Sn=1/[1-(z-z0)]. => (z-z0)n=1/[1-(z-z0 )]- Формула суммы бесконечной геометрической прогрессии.
Итак
cn(z-z0)n=> f(z)C(|z-z0 |<R). Можно ли
функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд,
сходящийся в этом круге к данной функции? Ответ на этот вопрос дает
2. Теорема Тейлора.
Теорема Тейлора. Если f(z)
C(|z-z0 |<R), то $! степенной ряд
cn(z-z0)n =>f(z) при |z-z 0|<R.
; 
ряд сходится
равномерно по x на
C R'=>f(z)=
(z-z0)n=
=f(n)(z0 )/n!, что
и доказывает $ и
единственность разложения. n 
, где C- произвольный кусочно-гладкий контур,
содержащий внутри себя точку z 0.