|z-z0| < r
(z0 ), где r (z0 )-радиус сходимости степенного ряда.
C
(g), то все z
g- правильные точки f(z). Если
f(z) задана в 
,
то граничные точки могут быть как правильными, так и особыми. 2. Нули аналитической функции.
Пусть f(z)
C(g);
f(z0)=0, z0g,
тогда z0 - нуль
аналитической функции . f(z)=
cn(z-z0)n
=> c0 =0. Если c
1=…= cn-1 =0, а
c n
0, то z 0 - нуль n-того порядка. Заметим, что в нуле n-того порядка f(z0)=f'(z0)=… f(n-1)(z0)=0, f(n)(z0)
0 и
f(z)=(z-z0)n f1(z),
f1(z0)0.Теорема о нулях аналитической функции.
Пусть f(z)
C (g) и обращается в 0 в бесконечном множестве различных
точек (z i
zk ,
все z n g и f(z n )=0), имеющем предельную точку (точку сгущения) z
*g(
zn=z* g).
Тогда f(z)
0, для z g.Доказательство. По непрерывности f(z*)=0 => f(z)=
cn(z-z*)n
, где |z-z *|< r (z*) => c0 =0, и f(z)=(z-z *)f1(z);
f1(z)= cn(z-z*)n; f1(zn
)=0=> по непрерывности f
1(z*)=0 => c1 =0 и так далее => c n =0 для " n. Итак f(z)0
в круге |z-z *| < r (z*
), где r
(z* ) не меньше, чем расстояние
от z * до 
. Тождественное равенство f(z)0 во всей области g доказывается
аналогично доказательству принципа максимума
Достаточно показать, что f(z ** )=0, где z **
g -
произвольная точка, лежащая вне круга |z-z *| <
r (z* ).
Соединим z * и z **
спрямляемой кривой L, целиком лежащей в g и
отстоящей от на
расстояние d>0. Поскольку " точку круга |z-z *|< r (z* ), лежащую
внутри g можно рассматривать как предел последовательности нулей функции f(z),
то выбрав в качестве нового центра разложения последнюю точку z=z
1 пересечения кривой L с
окружностью |z-z *|= r (z*
), получим, что f(z)0 внутри круга |z-z 1|< r (z1 ), где
r (z1)
d. Продолжая этот
процесс, покроем кривую L конечным числом кругов, радиусов не меньше d, внутри
которых f(z)0. При этом точка z=z
** попадет внутрь последнего
круга => f(z **)
0. В силу произвольности z **
=> f(z) 0 в g. n Следствия.
1. Все нули f(z)
C (g) и f(z)
тождественно 0 в g -
изолированные. 2. Если f(z)
C (g) и
f(z) тождественно 0 в g, то в
" ограниченной '
g может быть лишь конечное число нулей
f(z). Доказательство Если множество нулей в
'- бесконечно, то из него можно выделить пооследовательность,
сходящуюся к z ' =>f(z) 0 в g, что
противоречит условию. n
2. Если f(z)- целая , то в " ограниченной
'
может быть лишь конечное число нулей f(z). На расширенной комплексной плоскости целая функция может иметь лишь счетное число нулей,
причем предельноой точкой этого множества является бесконечно удаленная точка . 3. Теорема единственности определенной аналитической функции.
Теорема. Если f1 (z) и f 2(z)
C (g) и $
{zn}
z*g, zizk и f
1(zn)=f2(zn ), то f 1(z)f2 (z) для
" zg.Для доказательства достаточно при помощи теоремы о нулях установить, что функция h(z)=f 1(z)-f2(z)
0 в g. Следствия теоремы единственности.
Множество задания аналитической функции.
В области g может существовать только одна аналитическая функция, принимающая заданные значения на
a) {zn}
z*g, zizkb ) x
C g, C- кусочно-гладкая кривая.
c) z
' g. Другими словами: Функция аналитическая в g однозначно определяется заданием своих значений на a), b), c).
Существенное замечание. Может - не значит существует. Нельзя произвольно задавать значения f(z n ) или f(C) или f(
') ! 